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第1章 一维问题有限元法 1

1.1 采用线性单元的稳定扩散问题有限元法计算 1

1.1.1 线性单元插值 2

1.1.2 单元划分 3

1.1.3 Galerkin原理 5

1.1.4 线性代数方程组的表达形式 8

1.1.5 Dirichlet边界处的热通量 11

1.1.6 用Diracδ函数表示的Galerkin有限元方程 12

1.1.7 Galerkin积分原理与有限差分法的关系 14

1.2 有限元装配 15

1.2.1 集成线性方程组 18

1.2.2 针对三对角系数矩阵的线性方程组的Thomas算法 19

1.2.3 有限元法计算 21

1.2.4 （Robin或混合）对流边界条件 24

1.3 变分原理与加权余量法 25

1.3.1 齐次Dirichlet边界条件 25

1.3.2 非齐次Dirichlet边界条件 28

1.3.3 Dirichlet/Neumann边界条件 29

1.3.4 Neumann/Dirichlet边界条件 31

1.4 Helmholtz方程 32

1.5 应用二阶单元分析稳态扩散问题 36

1.5.1 单元结点和整体结点 37

1.5.2 Galerkin有限元法方程 38

1.5.3 计算五对角系数矩阵的Thomas算法 41

1.5.4 单元矩阵 44

1.5.5 有限元法程序 45

1.5.6 结点凝聚 48

1.5.7 任意位置的内部结点 53

1.6 使用二阶模态展开的稳态扩散问题 58

第2章 一维问题有限元法的进一步应用 64

2.1 非稳态扩散 64

2.1.1 Galerkin原理 64

2.1.2 ODEs的积分 66

2.1.3 向前Euler差分法 66

2.1.4 数值稳定性 67

2.1.5 有限元程序 71

2.1.6 Crank-Nicolson积分法 74

2.2 对流 77

2.2.1 线性单元 78

2.2.2 由于空间离散化导致的数值弥散 80

2.2.3 二阶单元 82

2.2.4 ODEs积分 82

2.2.5 非线性对流问题 83

2.3 对流-扩散 84

2.3.1 稳态线性对流-扩散 84

2.3.2 非线性对流-扩散 88

2.4 梁的弯曲 89

2.4.1 Euler-Bernoulli梁 89

2.5 梁弯曲问题有限元法 92

2.5.1 Hermite单元 93

2.5.2 Galerkin原理 95

2.5.3 单元刚度和质量矩阵 97

2.5.4 采用一个单元进行有限元法计算的悬臂梁 99

2.5.5 结点荷载作用下的悬臂梁 100

2.6 梁的屈曲 103

2.6.1 端部受压 104

2.6.2 承受端部压力时梁的屈曲 106

2.6.3 短粗柱的屈曲 107

第3章 一维问题中的高阶有限元与谱元法 113

3.1 单元结点集 114

3.1.1 Lagrange插值 114

3.1.2 均布结点 115

3.1.3 单元矩阵 116

3.1.4 C0连续性和共享单元结点 116

3.2 单元结点集变换 117

3.2.1 二阶展开式 118

3.2.2 逆变换 119

3.2.3 单元矩阵之间关系 120

3.2.4 结点集对于有限元解的作用 120

3.3 谱插值 121

3.3.1 Lobatto结点集 121

3.3.2 离散化程序 126

3.3.3 Legendre多项式 128

3.3.4 第二类Chebyshev结点集 130

3.4 Lobatto插值及单元矩阵 130

3.4.1 Lobatto质量矩阵 131

3.4.2 Lobatto插值函数积分 132

3.4.3 Lobatto质量矩阵计算 133

3.4.4 Lobatto扩散矩阵计算 138

3.5 稳态扩散问题的谱元法程序 143

3.5.1 谱精度 146

3.5.2 Helmholtz方程 148

3.5.3 结点凝聚 149

3.6 模态展开 152

3.6.1 结点展开式 153

3.6.2 数值实现方法 154

3.7 Lobatto模态展开 155

3.7.1 单元扩散矩阵 156

3.7.2 单元质量矩阵 158

3.7.3 模态谱元法 161

3.8 任意结点集 164

3.9 非稳态扩散 169

3.9.1 Crank-Nicolson离散方法 170

3.9.2 Euler向前差分法 173

第4章 二维问题有限元法 175

4.1 二维对流-扩散问题 175

4.1.1 边界条件 177

4.1.2 Galerkin积分 177

4.1.3 区域离散化和插值 178

4.1.4 Galerkin有限元方程式 179

4.1.5 施加Dirichlet边界条件 181

4.1.6 分离结点 182

4.1.7 变分形式 182

4.2 三结点三角形单元 184

4.2.1 单元矩阵 187

4.2.2 单元扩散矩阵计算 189

4.2.3 单元质量矩阵计算 190

4.2.4 证明积分式 191

4.2.5 单元对流矩阵计算 192

4.3 网格生成 194

4.3.1 连续细分 194

4.3.2 Delaunay三角剖分 198

4.3.3 广义联系矩阵 201

4.3.4 单元和结点的编号方式 204

4.4 Dirichlet边界条件下的Laplace方程 205

4.5 Laplace算子的特征值 210

4.6 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题 213

4.7 Neumann边界条件下的Helmholtz方程 216

4.8 任意边界条件下的Laplace方程 220

4.9 面单元 224

4.10 双线性四边形单元 227

第5章 二维问题中的二阶单元和谱单元 230

5.1 六结点三角形单元 230

5.1.1 三角形积分域 233

5.1.2 等参插值与单元矩阵 233

5.1.3 单元矩阵与积分法则 237

5.1.4 直边单元 241

5.2 网格生成 244

5.2.1 圆盘 244

5.2.2 正方形 247

5.2.3 L-形区域 250

5.2.4 具有方孔与圆孔的正方形 251

5.2.5 带圆孔的矩形 253

5.3 Laplace方程和Poisson方程 257

5.3.1 Laplace方程 257

5.3.2 Laplace算子的特征值 261

5.3.3 Poisson方程 261

5.4 Dirichlet边界条件下的对流-扩散问题 267

5.5 高阶三角形单元展开式 270

5.5.1 结点插值函数的计算 273

5.5.2 Lebesgue常数 276

5.5.3 结点凝聚 276

5.6 Appell多项式基函数 276

5.6.1 不完全双正交 278

5.6.2 不完全正交性 279

5.6.3 广义Appell多项式 279

5.7 Proriol多项式基 280

5.7.1 正交性 281

5.7.2 正交展开 282

5.8 高阶结点配置 283

5.8.1 基于一维主网格的结点配置 283

5.8.2 均匀网格 284

5.8.3 三角形单元上的Lobatto网格 287

5.8.4 Fekete结点集 289

5.8.5 其他形式的结点配置 290

5.9 三角形单元内的模态展开 291

5.9.1 模态展开的实现方法 295

5.9.2 模态展开性质 295

5.10 面单元 296

5.10 .1 在单元表面上求函数梯度 296

5.10 .2 网格生成 297

5.11 高阶四边形单元 297

5.11 .1 矩形八结点单元 298

5.11 .2 十二结点矩形单元 300

5.11 .3 通过张量积展开生成的网格结点 301

5.11 .4 模态展开 303

第6章 有限元法在力学中的应用 306

6.1 弹性理论基础 306

6.1.1 变形和本构方程 307

6.1.2 线弹性体 308

6.2 平面应力和平面应变分析 310

6.2.1 平面应力分析 310

6.2.2 平面应变分析 314

6.2.3 有限元描述 315

6.3 平面应力问题有限元分析 316

6.3.1 边界力引起的变形 318

6.3.2 体力作用引起的变形 329

6.4 板的弯曲 335

6.4.1 平衡方程 338

6.4.2 边界条件 339

6.4.3 本构方程和控制方程 340

6.4.4 圆形板 342

6.5 Hermite三角形单元 344

6.6 Morley三角形单元 352

6.7 相容的三角形单元 355

6.7.1 六结点21个自由度的三角形单元 355

6.7.2 Hsieh-Clough-Tocher（HCT）单元 356

6.8 板弯曲问题的有限元法 361

6.8.1 基于双调和方程的有限元描述 361

6.8.2 Poisson方程的有限元法描述 371

6.9 屈曲与皱曲 375

第7章 粘滞流 386

7.1 控制方程 386

7.2 有限元法 388

7.2.1 Galerkin积分 388

7.2.2 离散方程 390

7.3 Stokes流体 390

7.3.1 控制方程 390

7.3.2 Galerkin有限元法方程 391

7.3.3 三角化 394

7.4 矩形腔中的Stokes流 395

7.5 Navier-Stokes流体 401

7.5.1 稳态 402

7.5.2 时程积分 403

7.5.3 以压力为基本变量的Poisson方程形式 404

第8章 三维空间中的有限元与谱元法 406

8.1 三维空间中的对流-扩散问题 406

8.1.1 边界条件 406

8.1.2 区域离散 407

8.1.3 Galerkin变分法 407

8.1.4 Galerkin有限元法方程 408

8.1.5 单元矩阵 409

8.1.6 施加Dirichlet边界条件 409

8.2 四面体单元 410

8.2.1 参数坐标表示 411

8.2.2 四面体域内的体积分 412

8.2.3 单元划分为八个四面体 413

8.2.4 单元划分为12个四面体 415

8.2.5 等参插值 416

8.2.6 单元扩散矩阵 416

8.2.7 单元质量矩阵 424

8.2.8 积分公式（8.2.36 ）的证明 426

8.2.9 单元对流矩阵 426

8.3 区域离散为4-NQ单元集 427

8.3.1 Delaunay单元细分 432

8.4 关于4-NQ单元的有限元程序 434

8.4.1 Laplace方程 434

8.4.2 Laplace算子的特征值 437

8.5 四面体上的正交多项式 439

8.5.1 Karniadakis和Sherwin多项式 441

8.5.2 正交展开 442

8.6 高阶单元和四面体谱单元 444

8.6.1 均匀结点分布 445

8.6.2 任意结点分布 447

8.6.3 谱结点分布 447

8.6.4 单元结点插值函数的梯度 450

8.6.5 数值积分 450

8.7 10结点的二阶四面体单元 451

8.7.1 结点插值函数 452

8.7.2 单元扩散和质量矩阵 453

8.7.3 空间离散 453

8.7.4 Laplace方程 465

8.7.5 Laplace算子的特征值 466

8.8 四面体单元上的模态展开 473

8.9 六面体单元 476

8.9.1 参数化表示 477

8.9.2 六面体体积域内的积分 478

8.9.3 高阶单元和六面体谱单元 478

8.9.4 模态展开 479

附录 483

A.数学基础 483

A.1 指标记法 483

A.2 Kronecker符号 483

A.3 转换张量 483

A.4 二维和三维向量 484

A.5 Hamilton算子 484

A.6 梯度和散度 484

A.7 向量运算公式 485

A.8 Gauss散度定理 485

A.9 平面坐标系中的Gauss散度公式 486

A.10 Stokes公式 486

B.正交多项式 487

B.1 定义和基本性质 487

B.1.1 低阶多项式的正交性 488

B.1.2 正交多项式的根 489

B.1.3 正交性的离散表示形式 489

B.1.4 Gram多项式 489

B.1.5 递推关系 489

B.1.6 三对角矩阵行列式计算 491

B.1.7 Clenshaw算法 491

B.1.8 Gram-Schmidt正交化 492

B.1.9 正交多项式 493

B.1.10 Christoffel-Darboux公式 493

B.2 Gauss积分 494

B.2.1 积分权重值 495

B.2.2 标准Gauss求积公式 495

B.3 Lobatto积分 496

B.4 Chebyshev积分公式 497

B.5 Legendre多项式 498

B.6 Lobatto多项式 500

B.7 Chebyshev多项式 500

B.8 Jacobi多项式 502

C.线性方程组求解 503

C.1 Gauss消去法 504

C.1.1 主元消去法 505

C.1.2 具体运算步骤 506

C.1.3 对称矩阵 507

C.1.4 计算成本 507

C.1.5 Gauss消除法的计算机程序 507

C.1.6 多个不同右端项 511

C.1.7 计算矩阵的逆 511

C.1.8 Gauss-Jordan消元法 511

C.2 基于矩阵分裂法的迭代法 512

C.2.1 Jacobi法 512

C.2.2 Gauss-Seidel迭代法 513

C.2.3 逐次超松弛（SOR）法 513

C.2.4 基于算子和网格的分裂法 513

C.3 基于方向搜索的迭代法 513

C.3.1 对称正定矩阵 514

C.3.2 一般方法 520

C.4 有限元方程求解 520

D.函数插值 520

D.1 插值多项式 520

D.1.1 Vandermonde矩阵 521

D.1.2 广义Vandermonde矩阵 522

D.1.3 Newton插值 523

D.2 Lagrange插值 523

D.2.1 Cauchy关系式 524

D.2.2 利用生成多项式表示Lagrange多项式 524

D.2.3 一阶导数和结点微分矩阵 525

D.2.4 Vandermonde矩阵表示法 527

D.2.5 与多项式根相关的Lagrange多项式 529

D.2.6 采用Hermite插值的Lagrange多项式 530

D.3 多项式插值的误差 531

D.3.1 收敛性和Lebesgue常数 532

D.4 Chebyshev插值 534

D.5 Lobatto插值 535

D.6 二维或更高维插值 538

E.生成单元网格 539

F.术语表 540

G.MATLAB基础 541

G.1 MAT LAB编程 542

G.1.1 语法和句法 542

G.1.2 精度 543

G.1.3 MATLAB命令 544

G.1.4 简单例子 545

G.2 MATLAB函数 547

G.3 数值方法 550

G.4 MATLAB绘图 550

参考文献 556