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第五章 向量代数与空间解析几何 1

第一节　向量及其线性运算 1

1.1 向量的概念 1

1.2　向量的线性运算 2

1.3　向量的投影 5

1.4 空间直角坐标系和向量的坐标 6

习题5.1 12

第二节　向量的乘法运算 13

2.1 两个向量的数量积（点积或内积） 13

2.2 两个向量的向量积（叉积或外积） 16

2.3　三个向量的混合积 19

习题5.2 21

第三节　平面与空间直线 22

3.1 平面的方程 22

3.2 与平面有关的某些几何问题 26

3.3 空间直线的方程 29

3.4 与直线和平面有关的某些几何问题 33

习题5.3 36

第四节 曲面与空间曲线 38

4.1 曲面的方程 38

4.2　二次曲面 42

4.3 空间曲线的方程及其在坐标面上的投影 48

习题5.4 53

第五章　综合练习题 55

上机演练与实验 56

实验一 MATLAB三维图形的绘制 56

上机练习题 61

第六章 多元函数微分学及其应用 62

第一节　多元函数及其极限与连续性 62

1.1 区域 62

1.2　多元函数的概念 64

1.3 多元函数的几何表示 67

1.4 多元函数的极限 70

1.5 多元函数的连续性 72

习题6.1 75

第二节　多元函数的导数 76

2.1 偏导数及其几何意义 76

2.2　高阶偏导数 80

习题6.2 82

第三节　多元函数的求导法 83

3.1 多元复合函数的求导法则 83

3.2 隐函数的求导法 90

习题6.3 95

第四节　方向导数与梯度 97

4.1 方向导数的概念 97

4.2 方向导数的计算公式 100

4.3　梯度 102

习题6.4 105

第五节　多元函数的全微分 106

5.1　全微分的概念 107

5.2 全微分形式不变性及其有理运算法则 110

5.3 全微分在近似计算和误差估计中的应用 112

习题6.5 114

第六节　多元函数微分学的几何应用 115

6.1 一元向量值函数的导数 115

6.2 空间曲线的切线与法平面 118

6.3 曲面的切平面与法线 122

习题6.6 125

第七节　多元函数的极值问题 126

7.1　无约束极值 126

7.2　最大值与最小值 129

7.3 有约束极值，Lagrange乘数法 132

习题6.7 138

第六章　综合练习题 139

上机演练与实验 141

实验一 人口增长预测问题 141

上机练习题 150

第七章 多元函数积分学及其应用 151

第一节 多元数量值函数积分的概念与性质 151

1.1 物体质量的计算 151

1.2 多元数量值函数积分的概念 153

1.3 多元数量值函数积分的性质 157

习题7.1 157

第二节　二重积分的计算 158

2.1 二重积分的几何意义 158

2.2 直角坐标系下二重积分的计算法 160

2.3 极坐标系下二重积分的计算法 168

习题7.2 174

第三节　三重积分的计算 177

3.1 将三重积分化为单积分与二重积分的累次积分 177

3.2 球面坐标系下三重积分的计算法 184

习题7.3 187

第四节　重积分的应用 190

4.1 重积分的微元法 190

4.2 重积分应用举例 191

习题7.4 200

第五节　第一型线积分与面积分 201

5.1 第一型线积分 201

5.2　第一型面积分 208

习题7.5 210

第六节　第二型线积分与Green公式 212

6.1 第二型线积分的概念与性质 212

6.2 第二型线积分的计算 215

6.3　Green公式 218

6.4 平面线积分与路径无关的条件 224

6.5　二元函数的全微分求积问题 227

习题7.6 232

第七节　第二型面积分，Gauss公式与Stokes公式 235

7.1 第二型面积分的概念与性质 235

7.2 第二型面积分的计算 239

7.3　Gauss公式 242

7.4　Stokes公式 243

习题7.7 245

第八节　场的初步知识 247

8.1 场的概念 247

8.2 平面向量场的几个等价性质 248

8.3 向量场的散度与无源场 250

8.4 向量场的旋度与无旋场 255

习题7.8 261

第七章　综合练习题 262

第八章　无穷级数 265

第一节　常数项级数 265

1.1 常数项级数的概念与性质 265

1.2　正项级数的审敛准则 271

1.3 变号级数的审敛准则 278

习题8.1 282

第二节　幂级数 284

2.1 函数项级数的概念 284

2.2　幂级数的收敛性及运算性质 285

2.3 函数展开成幂级数 293

2.4 幂级数的应用举例 302

习题8.2 303

第三节　Fourier级数 305

3.1 三角级数与三角函数系的正交性 305

3.2 Fourier级数与Dirichlet收敛定理 307

3.3 周期为2π的函数的Fourier展开 309

3.4　周期为2l的函数的Fourier展开 314

习题8.3 317

第八章　综合练习题 318

上机演练与实验 319

实验一 π的计算 319

上机练习题 323

附录1 行列式与Cramer法则简介 324

附录2 部分曲面和空间立体的图形 333

部分习题答案与提示 345