解析与概率数论导引PDF电子书下载

第一部分 初等方法 3

第零章 实分析的一些技巧 3

0.1　Abel求和法 3

0.2　Euler-Maclaurin求和公式 5

习题 7

第一章 素数 11

1.1　概述 11

1.2　Tchébychev估计 12

1.3　n！的p进赋值 15

1.4　Mertens第一定理 15

1.5　两个新的渐近公式 16

1.6　Mertens公式 18

1.7　Tchébychev的另一定理 20

注记 20

习题 21

第二章　数论函数 27

2.1　定义 27

2.2　例子 28

2.3　形式Dirichlet级数 29

2.4　数论函数环 30

2.5　M？bius反转公式 32

2.6　Mangoldt函数 33

2.7　Euler示性函数 35

注记 36

习题 37

第三章　均阶 41

3.1　概述 41

3.2　Dirichlet问题和双曲律 41

3.3　因子和函数 43

3.4　Euler示性函数 44

3.5　ω函数和Ω函数 45

3.6　M？bius函数的均值与Tchébychev和函数 46

3.7　无平方因子整数 49

3.8　取值在［0,1］中的乘性函数之均阶 52

注记 54

习题 55

第四章　筛法 63

4.1　？ratosthène筛法 63

4.2 Brun组合筛法 64

4.3　在孪生素数问题中的应用 66

4.4　大筛法的解析形式 68

4.5　大筛法的算术形式 74

4.6　大筛法的应用 76

4.7　Selberg筛法 79

4.7.1　简介 79

4.7.2　多变元数论函数 79

4.7.3　广义卷积 80

4.7.4　二次型 83

4.7.5　Johnsen-Selberg指数筛法 85

4.8　区间中的平方和 90

注记 93

习题 97

第五章　极阶 103

5.1　简介和定义 103

5.2　函数？(n) 104

5.3　函数ω（n）和Ω(n) 106

5.4　Euler函数？(n) 106

5.5 函数σk(n),k＞0 108

注记 109

习题 109

第六章 van der Corput方法 113

6.1 简介和回顾 113

6.2　三角积分 114

6.3　三角和 115

6.4　在Vorono？定理中的应用 120

6.5　模1均匀分布 123

6.5.1　定义，偏差，Weyl判别法 123

6.5.2　Erd？s-Turán不等式 124

注记 125

习题 127

第七章　Diophantus逼近 133

7.1　从Dirichlet到Roth 133

7.2　最优逼近，连分数 135

7.3　连分数展开的性质 140

7.4　二次无理数的连分数展开 143

注记 146

习题 146

第二部分　解析方法 155

第零章　Euler Γ-函数 155

0.1　定义 155

0.2　Weierstrass乘积公式 157

0.3　β-函数 158

0.4　复Stirling公式 161

0.5　Hankel公式 165

习题 166

第一章 生成函数：Dirichlet级数 171

1.1　收敛的Dirichlet级数 171

1.2　乘性函数的Dirichlet级数 172

1.3　Dirichlet级数的基本解析性质 173

1.4　收敛坐标与均值 179

1.5　一个算术应用：整数的核 181

1.6　竖带域中阶的估计 182

注记 185

习题 191

第二章 求和公式 197

2.1　Perron公式 197

2.2　应用：两个收敛定理 203

2.3　均值定理 204

注记 205

习题 206

第三章　Riemann ζ-函数 209

3.1　简介 209

3.2　解析延拓 209

3.3　函数方程 212

3.4　临界带域中的逼近和上界估计 213

3.5　零点分布的初步估计 216

3.6　几个复分析中的引理 218

3.7　零点的整体分布 220

3.8　Hadamard乘积展开 222

3.9　无零点区域 224

3.10　ζ'/ζ,1/ζ和logζ的上界估计 226

注记 227

习题 229

第四章　素数定理和Riemann假设 237

4.1　素数定理 237

4.2　最弱的假设 238

4.3　Riemann假设 240

4.4　ψ（x）的显式公式 243

注记 246

习题 249

第五章　Selberg-Delange方法 253

5.1　ζ（s）的复次幂 253

5.2　主要结论 256

5.3　定理5.2的证明 258

5.4　主要定理的一个变体 262

注记 265

习题 266

第六章　两个算术上的应用 273

6.1　素因子个数为k的整数 273

6.2　因子的平均分布：反正弦分布 279

注记 284

习题 286

第七章　Tauber型定理 289

7.1　简介，Tauber型与Abel型定理的对偶性 289

7.2　Tauber定理 291

7.3　Hardy-Littlewood和Karamata定理 293

7.4　Karamata定理的余项 298

7.5　Ikehara定理 305

7.6　Berry-Esseen不等式 311

7.7　全纯性作为Tauber型条件 312

7.8　算术Tauber型定理 316

注记 319

习题 323

第八章 算术数列中的素数分布 327

8.1　简介，Dirichlet特征 327

8.1.1　定义 327

8.1.2　本原特征 332

8.1.3　Gauss和 333

8.1.4　界 334

8.2　L级数，算术数列的素数定理 336

8.2.1　L级数及素数的算术数列 336

8.2.2　关于数L(1,χ) 339

8.2.3 Siegel-Walfisz定理 341

8.3 σ≥1时｜L(s,χ)｜的下界估计，定理8.16的证明 343

8.4 L（s,χ）的函数方程 349

8.5 Hadamard乘积公式及无零点区域 351

8.6 ψ（x;χ）的显式公式 356

8.7 算术数列的素数定理 360

注记 365

习题 367

第三部分　概率方法 375

第一章 密率 375

1.1　定义，自然密率 375

1.2　对数密率 378

1.3　解析密率 379

1.4　概率数论 380

注记 381

习题 381

第二章　数论函数的分布律 387

2.1　定义，分布函数 387

2.2　特征函数 391

注记 393

习题 399

第三章　正规阶 403

3.1　定义 403

3.2　Turán-Kubilius不等式 404

3.3　Turán-Kubilius不等式的对偶形式 409

3.4　Hardy-Ramanujan定理及其他应用 410

3.5　乘性函数的实效估计 413

3.6　整数素因子列的正规结构 416

注记 417

习题 422

第四章 加性函数的分布和乘性函数的均值 429

4.1　Erd？s-Wintner定理 429

4.2　Delange定理 434

4.3　Halász定理 438

4.3.1　定理表述 438

4.3.2　引理 441

4.3.3　定理4.7的证明 443

4.3.4　应用 446

4.4　Erd？s-Kac定理 451

注记 453

习题 456

第五章　脆数和鞍点法 461

5.1　简介，Rankin方法 461

5.2　几何方法 466

5.3　函数方程 467

5.4　Dickman函数 472

5.5　用鞍点法逼近Ψ(x,y) 478

5.6 Jacobsthal函数和Rankin定理 487

注记 490

习题 497

第六章　无小因子整数 503

6.1　简介 503

6.2　函数方程 505

6.3　Buchstab函数 510

6.4　用鞍点法估计Φ(x,y) 514

6.5 Kubilius模型 523

注记 526

习题 530

参考文献 535

名词索引Ⅰ 569

名词索引Ⅱ 585