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第1章 数值计算方法与误差分析 1

1.1 数值计算方法 1

1.2 误差的来源与误差分析的重要性 2

1.3 近似数的误差表示法 3

1.3.1 绝对误差与相对误差 3

1.3.2 舍入误差与有效数字 4

1.4 数值运算误差分析 5

1.5 数值计算中的一些基本原则 6

1.5.1 算法的数值稳定性 6

1.5.2 避免误差危害的若干原则 7

1.6 数学软件 9

1.7 应用实例：计算圆周率π的算法 10

1.8 习题 12

第2章 非线性方程的数值解法 14

2.1 二分法 14

2.2 迭代法及其收敛性 15

2.2.1 不动点迭代法 16

2.2.2 不动点迭代法的全局收敛 17

2.2.3 局部收敛性与收敛阶 19

2.2.4 不动点迭代法的加速 20

2.3 Newton迭代法 21

2.3.1 Newton迭代格式 21

2.3.2 Newton迭代法的收敛性 23

2.3.3 Newton迭代法的变形 26

2.4 利用数学软件求解非线性方程 29

2.4.1 MATLAB相关函数介绍 29

2.4.2 MATLAB直接求解非线性方程 29

2.4.3 MATLAB编程求解非线性方程 30

2.5 应用实例：混沌（Chaos）问题 34

2.6 习题 38

第3章 线性方程组的数值解法 41

3.1 消元法 41

3.1.1 Gauss消元法 41

3.1.2 列主元Gauss消元法 43

3.1.3 Gauss-Jordan消元法 45

3.2 矩阵三角分解法 46

3.2.1 矩阵的三角分解 46

3.2.2 解线性方程组的三角分解 51

3.2.3 平方根法 53

3.2.4 追赶法 55

3.3 向量与矩阵的范数 57

3.3.1 向量范数 58

3.3.2 矩阵范数 59

3.4 消元法的误差分析 61

3.5 迭代法 64

3.5.1 Jacobi迭代 65

3.5.2 Gauss-Seidel迭代 67

3.5.3 超松弛（SOR）迭代 68

3.6 迭代法的收敛性 70

3.7 利用数学软件求解线性方程组 73

3.7.1 利用MATLAB命令直接求解 73

3.7.2 利用MATLAB编程求解 74

3.8 应用实例——投入产出分析 79

3.9 习题 84

第4章 函数的插值与曲线拟合 88

4.1 引言 88

4.1.1 插值问题与插值多项式 88

4.1.2 插值多项式的存在唯一性 89

4.2 Lagrange插值 89

4.2.1 线性插值 89

4.2.2 抛物线插值 90

4.2.3 Lagrange插值多项式 91

4.2.4 插值余项 92

4.3 均差与Newton插值 95

4.3.1 均差及其性质 95

4.3.2 Newton插值公式 96

4.4 等距节点插值 97

4.4.1 差分 97

4.4.2 等距节点Newton插值公式 98

4.5 Hermite插值 99

4.6 分段插值 101

4.6.1 高次多项式插值的Runge现象 101

4.6.2 分段线性插值 102

4.6.3 分段三次Hermite插值 103

4.7 样条插值 103

4.7.1 三次样条函数 103

4.7.2 样条插值函数的建立 104

4.7.3 三次样条插值收敛性 106

4.8 曲线拟合的最小二乘法 106

4.9 利用数学软件求解插值与拟合问题 108

4.9.1 MATLAB相关函数介绍 108

4.9.2 用MATLAB直接求解插值及拟合问题 108

4.9.3 Lagrange插值的MATLAB程序 109

4.9.4 Newton插值的MATLAB程序 110

4.9.5 等距节点Newton插值的MATLAB程序 110

4.10 应用实例：给药方案设计 111

4.11 习是 113

第5章 数值积分与数值微分 115

5.1 数值积分概述 115

5.1.1 数值积分的基本思想 115

5.1.2 代数精度 116

5.1.3 插值型求积公式 117

5.2 Newton-Cotes公式 119

5.2.1 公式的导出 119

5.2.2 代数精度 121

5.2.3 低阶求积公式的余项 121

5.2.4 复化求积法及其收敛性 122

5.3 变步长求积和Romberg算法 124

5.3.1 变步长梯形求积法 124

5.3.2 外推法与Romberg算法 125

5.4 Gauss型求积公式 127

5.4.1 概述 127

5.4.2 Gauss-Legendre求积公式 228

5.4.3 Gauss型求积公式的稳定性 130

5.5 数值微分 130

5.5.1 机械求导法 130

5.5.2 插值型求导公式 131

5.6 利用数学软件求解数值积分与数值微分 133

5.6.1 数值积分 133

5.6.2 数值微分 134

5.7 应用实例——计算定积分的Monte Carlo方法 135

5.8 习题 137

第6章 常微分方程初值问题的数值解法 139

6.1 Euler法与改进的Euler法 140

6.1.1 Euler法 140

6.1.2 改进的Euler法 142

6.2 Runge-Kutta法 145

6.2.1 Runge-Kutta方法的基本思想 145

6.2.2 二阶Runge-Kutta方法 146

6.2.3 三阶与四阶Runge-Kutta方法 147

6.3 单步法的收敛性和稳定性 150

6.3.1 单步法的收敛性 150

6.3.2 单步法的稳定性 152

6.4 线性多步法 153

6.4.1 Adams显式法与Adams隐式法 154

6.4.2 Milne方法 157

6.4.3 Hamming方法 158

6.5 方程组与高阶方程的数值解法 159

6.5.1 一阶常微分方程组的数值解法 159

6.5.2 高阶微分方程的初值问题 161

6.6 利用数学软件求解常微分方程 161

6.6.1 利用MATLAB命令直接求解 161

6.6.2 利用MATLAB编程求解 164

6.7 应用实例：导弹追击问题 167

6.8 习题 172

第7章 矩阵的特征值与特征向量 174

7.1 引言 174

7.2 幂法与反幂法 175

7.2.1 幂法 175

7.2.2 反幂法 180

7.3 Jacobi方法 182

7.4 QR方法 184

7.5 利用数学软件求解矩阵的特征值与特征向量 186

7.6 应用实例：主成分分析方法的应用 188

7.7 习题 190

附录 193

附录A 部分习题答案 193

附录B MATLAB软件简介 203

参考文献 237