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第一章 函数、极限与连续 1

第一节　集合与函数 1

一、集合 1

二、函数的概念 3

三、函数的性质 6

四、复合函数反函数 9

五、初等函数 11

习题1-1 16

第二节　数列与极限 17

一、数列 17

二、极限思想 18

三、数列极限的定义 19

四、收敛数列的性质 22

习题1-2 24

第三节　函数的极限 24

一、自变量趋于无穷大时函数的极限 25

二、自变量趋于有限值时函数的极限 26

三、函数的极限的性质 29

习题1-3 30

第四节　极限的运算法则 31

习题1-4 35

第五节 极限存在准则与两个重要极限 36

一、极限存在准则 36

二、两个重要极限 37

习题1-5 41

第六节 无穷小与无穷大 42

一、无穷小与无穷大 42

二、无穷小的比较 46

习题1-6 48

第七节 函数的连续与间断 49

一、函数的连续性 49

二、初等函数的连续性 51

三、函数的间断点 52

习题1-7 54

第八节 闭区间上连续函数的性质 54

习题1-8 57

本章小节 57

复习题一 59

阅读材料 函数观念发展简史 61

第二章 导数与微分 63

第一节 导数的概念 63

一、引例 63

二、导数的定义 65

三、导数的几何意义 69

四、可导性与连续性的关系 71

五、高阶导数 72

习题2-1 73

第二节 函数的求导法则 74

一、函数的和、差、积、商的导数 74

二、反函数的导数 77

三、复合函数的导数 78

四、初等函数的导数 80

习题2-2 82

第三节 隐函数与参数方程求导数 83

一、隐函数求导法 83

二、参数方程求导法 86

习题2-3 89

第四节 微分及其应用 89

一、微分的概念 89

二、微分与导数的关系 91

三、微分的几何意义 92

四、微分的运算 94

五、微分在近似计算中的应用 94

习题2-4 96

本章小节 96

复习题二 97

阅读材料　微积分发展简史 99

第三章 中值定理与导数的应用 102

第一节　中值定理 102

一、罗尔（Rolle）中值定理 102

二、拉格朗日（Lagrange）中值定理 103

三、柯西（Cauchy）中值定理 106

习题3-1 107

第二节 洛必达（L'Hospital）法则 107

一、？型未定式 107

二、？型未定式 109

三、其它类型的未定式 110

习题3-2 112

第三节 泰勒（Taylor）公式 113

习题3-3 119

第四节 函数的单调性、极值与最值 119

一、函数单调性的判别法 119

二、函数的极值及其求法 121

三、函数的最大值与最小值 125

习题3-4 128

第五节 函数图形的描绘 128

一、曲线的凹凸与拐点 128

二、函数图形的描绘 131

习题3-5 133

本章小节 133

复习题三 135

阅读材料　莱布尼茨 137

第四章 不定积分 141

第一节　不定积分的概念 141

一、原函数 141

二、不定积分 142

三、不定积分的几何意义 143

习题4-1 144

第二节　不定积分的性质与基本积分公式 144

一、不定积分的性质 144

二、基本积分公式 146

习题4-2 148

第三节　换元积分法 149

一、第一类换元积分法（凑微分法） 149

二、第二类换元积分法 157

习题4-3 163

第四节　分部积分法 165

习题4-4 171

第五节　几种特殊类型函数的积分 171

一、有理函数的积分 171

二、三角函数有理式的积分 180

三、简单无理函数的积分 182

习题4-5 184

第六节　积分表的使用 184

习题4-6 186

第七节　简易微分方程 186

一、微分方程的基本概念 186

二、可分离变量的微分方程 189

三、齐次方程 192

四、一阶线性微分方程 194

五、微分方程的简单应用 199

习题4-7 203

本章小节 205

复习题四 207

阅读材　料拉格朗日 208

第五章 定积分 211

第一节　定积分的概念 211

一、两个实例 221

二、定积分的定义 215

三、定积分的几何意义 216

四、可积函数类 218

习题5-1 219

第二节　定积分的性质 220

习题5-2 225

第三节　微积分基本定理 226

一、变限积分函数及其导数 226

二、牛顿－莱布尼茨公式 229

习题5-3 233

第四节　定积分的积分法 235

一、定积分的换元积分法（凑微分法） 235

二、定积分的分部积分法 240

习题5-4 244

第五节　广义积分初步 245

一、无穷区间上的广义积分 245

二、无界函数的广义积分 249

习题5-5 250

第六节　定积分的应用 251

一、微元法 251

二、平面图形的面积 253

三、旋转体的体积 260

四、平行截面面积为已知的立体体积 263

五、平面曲线的弧长 265

六、功、水压力和引力 269

习题5-6 273

本章小节 276

复习题五 277

阅读材料　欧拉 281

第六章 无穷级数 285

第一节　数项级数 285

一、数项级数的概念 285

二、数项级数的性质 288

三、数项级数的审敛法 296

习题6-1 298

第二节　幂级数 298

一、函数项级数的一般概念 298

二、幂级数及其收敛性 300

三、幂级数的运算 304

习题6-2 308

第三节　函数的幂级数展开 308

一、泰勒（Taylor）级数与麦克劳林（Maclaurin）级数 308

二、函数展开为幂级数的方法 310

三、函数展开为幂级数的应用 318

习题6-3 319

本章小节 320

复习题六 320

阅读材料 321

第七章 空间解析几何与向量代数 324

第一节 空间直角坐标系与向量代数 324

一、空间直角坐标系 324

二、空间两点间的距离 326

三、向量的概念与运算 327

习题7-1 331

第二节 向量的坐标 332

一、向量的坐标表示 332

二、利用坐标进行向量的线性运算 333

习题7-2 335

第三节　数量积、向量积与混合积 335

一、向量的数量积 335

二、向量的向量积 339

三、向量的混合积 341

习题7-3 343

第四节　平面及其方程 344

一、平面的点法式方程 344

二、平面的一般方程 345

三、平面的截距式方程 346

四、两平面间的位置关系 347

习题7-4 249

第五节　空间直线及其方程 350

一、空间直线方程 350

二、两直线间的位置关系 353

三、直线与平面间的位置关系 354

习题7-5 355

第六节 空间曲面和曲线 356

一、曲面与曲线方程的概念 356

二、旋转面与柱面 358

三、曲线方程及曲线在坐标面上的投影 361

习题7-6 364

第七节　二次曲面 365

一、椭球面 365

二、双曲面 367

三、抛物面 369

习题7-7 370

本章小节 370

复习题七 371

阅读材料　笛卡儿与解析几何 372

第八章 多元函数微分学 375

第一节　多元函数的基本概念 375

一、平面点集与区域 375

二、多元函数的概念 378

三、多元函数的极限 379

四、多元函数的连续性 383

习题8-1 385

第二节　偏导数与全微分 387

一、偏导数的定义及其求法 387

二、高阶偏导数 389

三、全微分的定义及其求法 391

四、全微分与近似计算 394

习题8-2 395

第三节　复合函数与隐函数的微分 396

一、多元复合函数微分法 396

二、隐函数微分法 400

习题8-3 403

第四节 偏导数在几何上的应用 405

一、空间曲线的切线与法平面 405

二、曲面的切平面与法线 409

习题8-4 412

第五节 复合函数与隐函数的微分 414

一、多元函数的极值与最值 414

二、条件极值与拉格朗日乘数法 418

习题8-5 421

第六节　方向导数与梯度 422

一、方向导数 422

二、梯度 425

习题8-6 426

本章小节 427

复习题八 428

阅读材料 多元函数的泰勒展开式 429

第九章 多元函数积分学 433

第一节 二重积分的概念与性质 433

一、两个引例 433

二、二重积分的概念 435

三、二重积分的性质 437

习题9-1 440

第二节　二重积分的计算法 441

一、利用直角坐标计算二重积分 441

二、利用极坐标计算二重积分 449

三、二重积分的换元法 456

习题9-2 457

第三节 二重积分的应用 460

一、体积 460

二、曲面的面积 462

三、平面薄片的重心 464

习题9-3 465

本章小节 466

复习题九 467

阅读材料 积分应用中的微元法 468

附录Ⅰ　常用平面曲线及其方程 470

附录Ⅱ　积分表 475

附录Ⅲ　习题答案与提示 486