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第1章 绪论 1

1.1 计算方法研究的对象和内容 1

1.2 误差来源和分类 1

1.2.1 模型误差 1

1.2.2 观测误差 2

1.2.3 方法误差 2

1.2.4 舍入误差 2

1.3 绝对误差、相对误差与有效数字 2

1.4 数值计算中的若干原则 4

1.4.1 避免两个相似的数相减 4

1.4.2 防止大数“吃掉”小数 5

1.4.3 绝对值太小的数不宜作除数 5

1.4.4 注意简化计算程序 5

1.4.5 选用数值稳定的算法 6

习题1 7

第2章 解线性方程组的直接法 8

2.1 Gauss消去法 8

2.1.1 Gauss顺序消去法 8

2.1.2 Gauss主元消去法 11

2.2 三角分解法 12

2.2.1 Doolittle分解法 12

2.2.2 平方根法 15

2.2.3 追赶法 17

2.3 误差分析 18

2.3.1 向量范数 18

2.3.2 矩阵范数 19

2.3.3 线性方程组固有性态与条件数 20

习题2 23

3.1 Jacobi迭代法 26

第3章 线性方程组的迭代法 26

3.2 Seidel迭代法 27

3.3 松弛法——SOR法 28

3.4 迭代法的一般形式与收敛性 29

习题3 32

第4章 非线性方程与非线性方程组解法 34

4.1 二分法 34

4.2 简单迭代法 36

4.2.1 简单迭代法的一般形式 36

4.2.2 简单迭代法的收敛条件 37

4.2.3 简单迭代法的误差分析和收敛阶 38

4.3 Newton迭代法 40

4.3.1 Newton迭代法的迭代公式 40

4.3.2 Newton迭代法收敛性 41

4.3.3 Newton迭代法变形 42

4.4 解非线性方程组的Newton迭代法 43

习题4 44

第5章 矩阵特征值和特征向量的计算 46

5.1 幂法 46

5.2 原点平移法 50

5.3 反幂法 52

5.4 Jacobi方法 53

5.4.1 平面旋转变换 53

5.4.2 Jacobi方法 54

习题5 58

第6章 插值与逼近 59

6.1 Lagrange插值多项式 59

6.1.1 插值多项式 59

6.1.2 Lagrange插值多项式 60

6.1.3 插值多项式的余项 63

6.2.1 差商 65

6.2 Newton插值多项式 65

6.2.2 Newten插值公式 66

6.2.3 差分 68

6.2.4 等距节点插值公式 69

6.3 Hermite插值多项式 71

6.3.1 Hermite插值 71

6.3.2 Hermiter插值的误差估计 72

6.4 分段插值多项式 74

6.4.1 分段线性插值 74

6.4.2 Hermite分段插值多项式 76

6.5 Spline插值 77

6.5.1 三次样条插值函数的概念 77

6.5.2 三次样条插值函数的求法 78

6.6.2 多项式拟合 81

6.6.1 最小二乘法 81

6.6 数据拟合的最小二乘法 81

习题6 82

第7章 数值积分与微分 84

7.1 Newton-Cotes公式 84

7.1.1 梯形公式 85

7.1.2 Simpson公式 86

7.1.3 Newton-Cotes公式 87

7.2 复化积分公式 90

7.2.1 复化梯形公式 90

7.2.2 复化Simpson公式 90

7.3 Gauss型求积公式 93

7.3.1 Gauss-Legendre求积公式 97

7.3.2 Gauss-Chebyshev求积公式 99

7.4 数值微分 100

7.4.1 用Taylor展开式求数值微分公式 101

7.4.2 用插值多项式求微商 102

习题7 103

第8章 常微分方程数值解法 105

8.1 引言 105

8.2 Euler方法 105

8.2.1 Euler公式 105

8.2.2 改进的Euler方法 107

8.2.3 差分公式的误差分析 109

8.2.4 Taylor展开方法 109

8.3 Runge-Kutta方法 110

8.4 单步方法的收敛性和稳定性 114

8.4.1 单步方法的收敛性 114

8.4.2 单步方法的稳定性 115

8.5 线性多步方法 117

8.5.1 利用待定参数法构造线性多步方法 117

8.5.2 利用数值积分构造线性多步方法 118

8.6 常微分方程组与高阶微分方程的数值解法 120

8.6.1 一阶常微分方程组的数值解法 120

8.6.2 化高阶方程为一阶方程组 122

习题8 123

第9章 偏微分方程的差分方法 126

9.1 椭圆型方程边值问题的差分方法 126

9.1.1 差分方程的建立 126

9.1.2 一般区域的边界条件处理 128

9.2 抛物型方程的差分方法 129

9.2.1 一维问题 129

9.2.2 差分格式的稳定性 134

习题9 135

部分习题答案 137

附录 143

参考文献 155