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目录 1

第一章　插值方法 1

1　Lagrange插值公式 1

1.1　插值问题的提法 1

1.2　线性插值 2

1.3　二次插值 2

1.4　n次插值 4

1.5　插值多项式的余项 5

2　Newton插值公式 8

2.1　差商及其性质 9

2.2　Newton插值公式 10

3　Hermite插值 14

3.1　Hermite插值公式的构造 14

3.2　Hermite插值余项 17

4　分段插值 18

4.1　高次插值的Runge现象 18

4.2　分段低次插值 19

4.3　分段三次Hermite插值 20

5　三次样条插值 22

5.1　样条函数的概念 22

5.2　三次样条插值 23

习题一 28

第二章　最佳平方逼近 30

1　正交多项式 30

1.1　正交函数系与正交多项式 30

1.2　正交多项式的性质 33

1.3 Legendre多项式 35

1.4 Chebyshev多项式 37

1.5 其他常用的正交多项式 38

2 最小二乘拟合多项式 39

3 一般最小二乘逼近问题的提法 41

3.1　广义多项式与权系数 41

3.2　一般最小二乘逼近问题的提法 42

3.3　正规方程组 43

4　用正交多项式作最佳平方逼近 45

4.1　Legendre多项式的应用 46

4.2 Chebyshev多项式的应用 47

习题二 48

第三章　数值积分 50

1　数值求积公式的概念 50

1.1　构造求积公式的思想 50

1.2　求积公式的余项 51

1.3　代数精度的概念 51

2　Newton-Cotes求积公式 52

1.4　求积公式的收敛性与稳定性 52

2.1　公式的一般形式 53

2.2　常用的Newton-Cotes公式 53

3　复化求积公式 57

3.1　复化梯形公式 58

3.2　复化Simpson公式 59

4　变步长积分法 61

5　Romberg方法 63

6.1　问题的提出 65

6　Gauss求积公式 65

6.2　公式的构造 67

6.3　Gauss求积公式的收敛性与稳定性 70

6.4　常用的Gauss求积公式 71

习题三 74

第四章　解线性代数方程组的直接方法 76

1　Gauss消去法 76

1.1　Gauss消去法的基本思想 76

1.2　Gauss主元消去法 78

1.3　Gauss消去法的矩阵形式 80

2　矩阵三角分解法 83

2.1　Doolittle分解法 83

2.2　Crout分解法 85

2.3　平方根法 86

2.4　追赶法 90

3　误差分析 91

3.1　关于方程组的解的精度 91

3.2　向量的范数 92

3.3　矩阵的范数 94

3.4　扰动方程组解的误差界 96

3.5　病态方程组的解法 100

习题四 102

第五章　解线性代数方程组的迭代法 105

1　Jacobi迭代法 105

1.1　迭代格式的构造 105

1.2　Jacobi迭代法的收敛性 106

2　Gauss-Seidel迭代法 108

2.1　Gauss-Seidel迭代格式 108

2.2　Gauss-Seidel迭代法的收敛性 109

3　SOR迭代法 111

3.1　SOR迭代格式 111

3.2　SOR迭代法的收敛性 112

4　最速下降法及共轭斜量法 114

4.1　最速下降法 115

4.2　共轭斜量法 116

习题五 118

第六章　非线性方程和方程组的迭代解法 121

1　方程f（x）＝0的根与二分法 121

1.1　方程根的概念 121

1.2　二分法 122

2　迭代法及其收敛法 123

2.1　迭代格式的构造及收敛条件 123

2.2　迭代法的局部收敛性 127

3　Aitken加速迭代法 129

4　Newton迭代法 131

4.1　Newton迭代格式 131

4.2　Newton法的局部收敛性 132

4.3　关于重根的进一步讨论 134

5　弦截法与抛物线法 135

5.1　弦截法 135

5.2　抛物线法 137

6　非线性方程组的迭代解法 138

6.1　不动点迭代法 139

6.2　Newton迭代法 140

习题六 141

第七章　矩阵的特征值与特征向量 144

1　问题的提出 144

2　乘幂法和反幂法 144

2.1　乘幂法 145

2.2　改进的乘幂法 146

2.3　加速收敛技巧 149

2.4　反幂法 151

3　实对称矩阵的Jacobi方法 153

3.1　Jaeobi方法的基本思想 153

3.2　Jacobi方法及其收敛性 154

习题七 158

第八章 常微分方程初值问题的数值解法 160

1 问题的提出 160

2　Euler方法 161

2.1　Euler格式的建立 161

2.2　改进的Euler方法 163

3　Runge-Kutta方法 165

3.1　Runge-Kutta方法的基本思想 165

3.2　二阶Runge-Kutta格式 166

3.3　三阶Runge-Kutta格式 168

3.4　四阶Runge-Kutta格式 169

4　线性多步法 170

4.1 问题的提出 170

4.2　Adams格式 171

4.3　Adams预估校正格式 173

4.4　Simpson与Milne方法 174

4.5　Hamming方法 176

5　方程组与高阶方程 177

5.1 一阶方程组 177

5.2 化高阶方程为一阶方程组 178

习题八 180

习题参考答案 183

参考文献 193