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绪论 1

第一章 函数 极限与连续 4

1.1 映射与函数 4

一、集合 区间与邻域 4

二、映射 7

三、函数的概念 9

四、函数的运算 反函数 13

五、函数的几种简单性态 16

六、基本初等函数 初等函数 19

七、建立函数关系式举例 26

思考题1.1 28

习题1.1 29

1.2 极限的概念 30

一、数列的极限 31

二、当自变量趋于无穷大时函数的极限 35

三、当自变量趋于有限值时函数的极限 37

四、单侧极限 41

五、数列极限与函数极限的关系 43

思考题1.2 44

习题1.2 45

1.3 无穷小量 无穷大量 46

一、无穷小量与无穷大量的概念 46

二、无穷小量与无穷大量的关系 47

三、无穷小的运算性质 47

四、函数及其极限与无穷小之间的关系 49

思考题1.3 50

习题1.3 50

1.4 极限的性质及运算法则 51

一、极限的性质 51

二、极限的运算法则 53

思考题1.4 57

习题1.4 58

1.5 极限存在准则 两个重要极限 59

一、夹逼准则？=1 59

二、单调有界准则？=e 63

三、无穷小的比较 68

思考题1.5 71

习题1.5 72

1.6 连续函数 73

一、连续性的概念 73

二、函数的间断点 76

三、连续函数的运算 79

四、初等函数的连续性 81

五、闭区间上连续函数的性质 82

思考题1.6 86

习题1.6 86

1.7 应用实例 88

实例一 分形曲线 88

实例二 椅子平稳模型 90

复习题一 92

第二章 一元函数微分学 94

2.1 导数的概念 94

一、引例 94

二、导数的定义 96

三、单侧导数 99

四、导数的几何意义 100

五、函数可导与连续的关系 101

六、在经济学中导数的含义 103

思考题2.1 104

习题2.1 105

2.2 导数的运算法则 106

一、导数的四则运算法则 106

二、反函数的求导法则 108

三、复合函数的求导法则 110

四、导数基本公式 113

思考题2.2 115

习题2.2 116

2.3 隐函数及参数式函数的导数 117

一、隐函数的导数 117

二、参数式函数的导数 120

三、相关变化率问题 124

思考题2.3 125

习题2.3 126

2.4 高阶导数 127

思考题2.4 131

习题2.4 132

2.5 函数的微分 133

一、微分的概念 133

二、微分运算法则 136

三、函数的线性近似 137

思考题2.5 139

习题2.5 140

2.6 微分中值定理 141

一、函数的极值及其必要条件 141

二、微分中值定理 142

思考题2.6 149

习题2.6 150

2.7 不定型的极限 151

一、？型与？型 151

二、其他不定型 154

思考题2.7 157

习题2.7 157

2.8 泰勒公式 158

一、泰勒公式 158

二、几个常用的麦克劳林公式 163

三、泰勒公式的应用 166

思考题2.8 169

习题2.8 169

2.9 函数的单调性与极值 170

一、函数单调性的判定法 170

二、函数极值的判定法 173

三、最大值与最小值问题 177

四、在经济学中的极值问题 182

思考题2.9 183

习题2.9 184

2.10 函数的凸性与曲线的拐点 185

思考题2.10 191

习题2.10 191

2.11 函数作图 191

一、曲线的渐近线 192

二、函数作图 195

思考题2.11 197

习题2.11 197

2.12 曲线的曲率 198

一、弧微分 198

二、曲率 199

习题2.12 204

2.13 应用实例 204

实例一 运输问题 204

实例二 拐角问题 206

复习题二 207

第三章 一元函数积分学 211

3.1 定积分的概念与性质 211

一、引例 211

二、定积分的定义 213

三、函数可积的充分条件 215

四、定积分的几何意义 215

五、定积分的性质 217

思考题3.1 221

习题3.1 222

3.2 微积分基本定理 222

一、积分上限的函数 223

二、微积分基本定理 225

思考题3.2 227

习题3.2 227

3.3 不定积分的概念与性质 228

一、不定积分的概念 228

二、不定积分的几何意义 229

三、不定积分的性质 230

四、基本积分公式 231

思考题3.3 235

习题3.3 235

3.4 换元积分法 236

一、不定积分的换元积分法 236

二、定积分的换元积分法 249

思考题3.4 254

习题3.4 254

3.5 分部积分法 257

一、不定积分的分部积分法 257

二、定积分的分部积分法 262

思考题3.5 265

习题3.5 265

3.6 有理函数的积分 266

一、有理函数的积分 266

二、三角函数有理式的积分 274

思考题3.6 276

习题3.6 276

3.7 反常积分 277

一、无穷区间上的反常积分 277

二、无界函数的反常积分 280

三、Г函数与B函数 283

思考题3.7 286

习题3.7 286

3.8 定积分的几何应用 287

一、微元法 287

二、求平面图形的面积 288

三、求体积 292

思考题3.8 295

习题3.8 296

3.9 定积分的物理应用 297

一、功 297

二、引力 298

三、液体的压力 301

四、函数的平均值与均方根 302

思考题3.9 304

习题3.9 304

3.10 应用实例 305

实例 钓鱼问题 305

复习题三 306

第四章 常微分方程 310

4.1 微分方程的基本概念 310

一、引例 310

二、基本概念 312

思考题4.1 314

习题4.1 314

4.2 一阶微分方程 315

一、可分离变量的方程 315

二、齐次方程 319

三、一阶线性方程 323

思考题4.2 329

习题4.2 329

4.3 可降阶的高阶微分方程 331

一、y(n)=f(x)型 331

二、y"=f(x,y＇)型 332

三、y"=f(y,y＇)型 334

思考题4.3 336

习题4.3 336

4.4 二阶齐次线性方程 336

一、二阶齐次线性方程解的性质与结构 337

二、二阶常系数齐次线性方程的解法 340

思考题4.4 345

习题4.4 345

4.5 二阶非齐次线性方程 346

一、二阶非齐次线性方程解的性质与结构 346

二、二阶常系数非齐次线性方程的解法 348

三、欧拉方程 358

思考题4.5 362

习题4.5 362

4.6 应用实例 363

实例一 鱼雷击舰问题 363

实例二 人口增长模型 365

复习题四 368

附录 常用曲线图 371

习题答案 374