积分思想基础PDF电子书下载

第一章 数学史的几个重要阶段 1

1.1 什么是数学 1

1.1.1 数学累积性特征 1

1.1.2 数学具有文化特征 2

1.1.3 什么是数学 5

1.2 数学史的几个重要阶段 8

1.2.1 公元前6～3世纪四件对整个数学发展有重要影响的事件 8

1.2.2 公元17世纪，高等数学的世纪 9

1.2.3 公元19世纪产生了纯数学 11

1.2.4 公元20世纪纯数学继续发展和应用数学的崛起 12

1.3 古代巴比伦的数学 15

1.3.1 古代巴比伦的记数法与六十进位制 16

1.3.2 古巴比伦人的算术运算 19

1.3.3 古巴比伦的代数知识 21

1.3.4 古巴比伦的几何知识 25

思考题 25

第二章 微积分的酝酿 27

2.1 刘徽的数学成就 27

2.2 祖冲之父子的数学成就 33

2.3 开普勒与旋转体体积 37

2.4 卡瓦列里不可分量原理 39

2.5 笛卡儿“圆法”与费马的求曲线切线的方法 43

2.6 巴罗的“微分三角形”与沃利斯的“无穷算术” 46

思考题 49

第三章 实数的认识 52

3.1 实数认识的四个阶段与实数域的公理化描述 52

3.1 实数域上的开集、闭集的构造 55

3.3 连续性公理的等价刻画 57

思考题 68

第四章 黎曼积分 71

4.1 黎曼积分的定义 71

4.2 各类黎曼积分的统一形式 78

4.3 广义积分 85

4.3.1 无穷限的广义积分 85

4.3.2 瑕积分 86

4.3.3 例题 86

4.3.4 广义积分的基本性质 88

4.4 含参数积分 98

4.4.1 有限区间上的含参数积分的性质 99

4.4.2 含参变量广义积分的性质 103

思考题 113

5.1 测度 120

第五章 关于一般测度的积分 120

5.2 可测函数 139

5.3 关于一般测度的积分 145

5.4 积分的极限定理 158

思考题 164

第六章 黎曼积分与关于一般测度上的积分的比较 169

6.1 黎曼积分与勒贝格积分的比较 169

6.1.1 黎曼积分与极限可交换的条件太严 169

6.1.2 积分运算不完全是微分运算的逆运算 170

6.2 介绍欧拉与柯西 179

6.3 18世纪的分析学与军校之缘 183

思考题 189

参考文献 191