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第1章 数学模型和数值方法引论 1

1.1 数学模型及其建立方法与步骤 1

1.1.1 数学模型 1

1.1.2 人口增长模型 1

目录 1

1.1.3 建立数学模型的方法与步骤 4

1.2 数学模型举例 5

1.2.1 投入产出数学模型 5

1.2.2 两物种群体竞争系统 7

1.2.3 矿道中梯子问题 8

1.4 数值计算的误差 10

1.4.1 误差的来源与分类 10

1.3 数值方法的研究对象 10

1.4.2 误差与有效数字 11

1.4.3 求函数值和算术运算的误差估计 13

1.5 病态问题、数值稳定性与避免误差危害 14

1.5.1 病态问题与条件数 14

1.5.2 数值方法的稳定性 15

1.5.3 避免误差危害 17

1.6 线性代数的一些基础知识 19

1.6.1 矩阵的特征值问题、相似变换 19

1.6.2 线性空间和内积空间 21

1.6.3 范数、线性赋范空间 24

1.6.4 向量的范数和矩阵的范数 26

1.6.5 几种常见矩阵的性质 30

习题 35

2.1 引论 39

第2章 线性代数方程组的直接解法 39

2.2 Gauss消去法 40

2.2.1 顺序消去与回代过程 40

2.2.2 顺序消去能实现的条件 43

2.2.3 矩阵的三角分解 44

2.2.4 列主元素消去法 45

2.3 直接三角分解方法 48

2.3.1 Doolittle分解方法 48

2.3.2 三对角方程组的追赶法 50

2.3.3 对称正定矩阵的Cholesky分解、平方根法 52

2.4 矩阵的条件数与病态方程组 57

2.4.1 扰动方程组、病态现象 57

2.4.2 矩阵的条件数与扰动方程组的误差分析 58

2.4.3 病态方程组的解法 61

习题 62

计算实习题 64

第3章 线性代数方程组的迭代解法 66

3.1 迭代法的基本概念 66

3.1.1 引言 66

3.1.2 向量序列和矩阵序列的极限 68

3.1.3 迭代公式的构造 71

3.1.4 迭代法的收敛性分析 73

3.2 Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法 76

3.2.1 Jacobi迭代法 76

3.2.2 Gauss-Seidel迭代法 76

3.2.3 J法和GS法的收敛性 77

3.3 超松弛迭代法 79

3.3.1 逐次超松弛迭代公式 79

3.3.2 SOR迭代法的收敛性 80

3.3.3 最优松弛因子 81

3.3.4 模型问题几种迭代法的比较 83

3.4 共轭梯度法 84

3.4.1 与方程组等价的变分问题 84

3.4.2 最速下降法 85

3.4.3 共轭梯度法 86

习题 89

计算实习题 91

第4章 非线性方程和方程组的数值解法 93

4.1 引言 93

4.2 二分法和试位法 96

4.2.1 二分法 96

4.2.2 试位法 97

4.3.1 不动点和不动点迭代法 98

4.3 不动点迭代法 98

4.3.2 不动点迭代法在区间［a,b］的收敛性 100

4.3.3 局部收敛性 102

4.4 迭代加速收敛的方法 104

4.4.1 Aitken加速方法 104

4.4.2 Steffensen迭代方法 105

4.5 Newton迭代法和割线法 106

4.5.1 Newton迭代法的计算公式和收敛性 106

4.5.2 Newton法的进一步讨论 107

4.5.3 割线法 110

4.6 非线性方程组的数值解法 111

4.6.1 非线性方程组 111

4.6.2 非线性方程组的不动点迭代法 112

4.6.3 非线性方程组的Newton迭代法 114

习题 115

计算实习题 116

第5章 矩阵特征值问题的计算方法 118

5.1 矩阵特征值问题的性质 118

5.1.1 矩阵特征值问题 118

5.1.2 特征值的估计和扰动 120

5.2 正交变换和矩阵分解 121

5.2.1 Householder变换 121

5.2.2 Givens变换 124

5.2.3 矩阵的QR分解和Schur分解 125

5.2.4 正交相似变换化矩阵为Hessenberg形式 129

5.3 幂迭代法和逆幂迭代法 133

5.3.1 幂迭代法 133

5.3.3 逆幂迭代法 135

5.3.2 加速技巧 135

5.4 QR方法的基本原理 137

5.4.1 基本的QR迭代算法 137

5.4.2 Hessenberg矩阵的QR方法 139

5.4.3 带有原点位移的QR方法 140

5.5 对称矩阵特征值问题的计算 142

5.5.1 对称矩阵特征值问题的性质 142

5.5.2 Rayleigh商的应用 143

5.5.3 Jacobi方法 144

习题 148

计算实习题 150

第6章 插值法 151

6.1 Lagrange插值 152

6.1.1 Lagrange插值多项式 152

6.1.2 插值多项式的余项 156

6.2.1 均差及其性质 161

6.2 均差与Newton插值多项式 161

6.2.2 Newton插值公式 163

6.2.3 差分及其性质 167

6.2.4 等距节点的Newton插值公式 168

6.3 Hermite插值 170

6.3.1 Hermite插值多项式 171

6.3.2 重节点均差 174

6.3.3 Newton形式的Hermite插值多项式 175

6.4 分段低次插值方法 178

6.4.1 Runge现象 178

6.4.2 分段线性插值 179

6.4.3 分段三次Hermite插值 180

6.5 三次样条插值函数 181

6.5.1 三次样条插值函数 182

6.5.2 三次样条插值函数的计算方法 183

6.5.3 三次样条插值函数的误差 187

习题 188

计算实习题 189

第7章 函数逼近 191

7.1 正交多项式 192

7.1.1 正交多项式的概念及性质 192

7.1.2 Legendre多项式 194

7.1.3 Chebyshev多项式 195

7.1.4 Chebyshev多项式零点插值 196

7.1.5 Laguerre多项式 199

7.1.6 Hermite多项式 199

7.2 最佳平方逼近 200

7.2.1 最佳平方逼近的概念及计算 200

7.2.2 用正交函数组作最佳平方逼近 203

7.2.3 用Legendre正交多项式作最佳平方逼近 205

7.3 有理函数逼近 206

7.3.1 有理分式 207

7.3.2 Padé逼近 207

7.3.3 连分式 211

7.4 曲线拟合的最小二乘法 212

7.4.1 最小二乘法及其计算 212

7.4.2 线性化方法 216

7.4.3 用正交多项式作最小二乘曲线拟合 219

习题 222

计算实习题 223

第8章 数值积分与数值微分 225

8.1.1 梯形公式和Simpson公式 226

8.1　Newton-Cotes求积公式 226

8.1.2 插值型求积公式 230

8.1.3 代数精度 231

8.1.4 Newton-Cotes求积公式 232

8.1.5 开型Newton-Cotes求积公式 234

8.1.6 Newton-Cotes求积公式的数值稳定性 236

8.2 复合求积公式 237

8.2.1 复合梯形求积公式 237

8.2.2 复合Simpson求积公式 239

8.3 Romberg求积公式 241

8.3.1 外推技巧 241

8.3.2 Romberg求积公式 243

8.4 自适应积分法 245

8.5 Gauss型求积公式 247

8.5.1 Gauss型求积公式 249

8.5.2 Gauss型求积公式的稳定性与收敛性 254

8.5.3 Gauss-Legendre求积公式 256

8.5.4 Gauss-Chebyshev求积公式 259

8.5.5 Gauss-Laguerre求积公式 260

8.5.6 Gauss-Hermite求积公式 261

8.6 数值微分 262

8.6.1 Taylor展开构造数值微分 263

8.6.2 插值型求导公式 265

8.6.3 数值微分的外推算法 268

8.6.4 高阶数值微分 270

习题 273

计算实习题 275

第9章 常微分方程初值问题的数值解法 276

9.1 引言 276

9.2.1 显式Euler方法 278

9.2 简单数值方法 278

9.2.2 隐式Euler方法 279

9.2.3 梯形方法 280

9.2.4 预估-校正方法 281

9.2.5 单步方法的截断误差 283

9.3 Runge-Kutta方法 286

9.3.1 用Taylor展开构造高阶数值方法 286

9.3.2 Runge-Kutta方法 288

9.3.3 高阶方法与隐式Runge-Kutta方法 292

9.4 单步法的相容性、收敛性和绝对稳定性 294

9.4.1 相容性 294

9.4.2 收敛性 295

9.4.3 绝对稳定性 296

9.5.1 线性多步法的基本概念 300

9.5 线性多步法 300

9.5.2 Adams方法 302

9.5.3 待定系数方法 306

9.5.4 预估校正方法 307

9.6 线性多步法的相容性、收敛性和绝对稳定性 310

9.6.1 相容性 310

9.6.2 收敛性 310

9.6.3 绝对稳定性 313

9.7 误差控制与变步长 316

9.7.1 单步法 316

9.7.2 线性多步法 318

9.8 一阶方程组与刚性方程组 320

9.8.1 一阶方程组 320

9.8.3 刚性微分方程组 324

9.8.2 高阶微分方程初值问题 324

习题 326

计算实习题 327

附录 AMATLAB简介 329

A.1 常数 329

A.2 矩阵 329

A.2.1 矩阵的形成 329

A.2.2 矩阵运算 331

A.2.3 数组运算 331

A.3 函数 332

A.3.1 内部函数 332

A.3.2 用户定义的函数 333

A.4 绘图 333

A.5 编程 335

部分习题的答案或提示 337

参考文献 353