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第1章 距离空间 1

1.1 定义与例子 2

1.1.1 问题提出 2

1.1.2 概念入门 2

1.1.3 几个常见的例子 3

1.1.4 基础题训练 5

1.2 距离空间中的点集与可分性 5

1.2.1 问题提出 5

1.2.2 概念入门 6

1.2.3 主要结论 7

1.2.4 例题选讲 10

1.2.5 基础题训练 12

1.2.6 提高性习题 12

1.3 完备性与纲定理 13

1.3.1 问题提出 13

1.3.2 概念入门 13

1.3.3 主要结论 14

1.3.4 例题选讲 16

1.3.5 基础题训练 17

1.3.6 提高性习题 17

1.4.2 概念入门 18

1.4.1 问题提出 18

1.4 列紧与紧 18

1.4.3 主要结论 19

1.4.4 例题选讲 22

1.4.5 基础题训练 23

1.4.6 提高性习题 23

1.5 连续映射 24

1.5.1 问题提出 24

1.5.2 概念入门 24

1.5.3 主要结论 24

1.5.4 例题选讲 27

1.5.6 提高性习题 29

1.5.5 基础题训练 29

1.6 压缩映射不动点定理及其应用 30

1.6.1 问题提出 30

1.6.2 概念入门 30

1.6.3 主要结论 30

1.6.4 例题选讲 32

1.6.5 基础题训练 36

1.6.6 提高性习题 37

第2章 赋范线性空间 38

2.1.2 概念入门 39

2.1 赋范线性空间与Banach空间 39

2.1.1 问题提出 39

2.1.3 主要结论 42

2.1.4 例题选讲 44

2.1.5 基础题训练 45

2.1.6 提高性习题 46

2.2 有限维赋范线性空间 47

2.2.1 问题提出 47

2.2.2 概念入门 47

2.2.3 主要结论 47

2.2.5 提高性习题 51

2.2.4 基础题训练 51

2.3 Lp空间 52

2.3.1 问题提出 52

2.3.2 概念入门 52

2.3.3 主要结论 54

2.3.4 例题选讲 59

2.3.5 基础题训练 61

2.3.6 提高性习题 63

2.4.1 问题提出 64

2.4.2 概念入门 64

2.4 卷积与Fourier变换 64

2.4.3 主要结论 65

2.4.4 例题选讲 71

2.4.5 基础题训练 73

2.4.6 提高性习题 73

2.5 凸集与Schauder不动点定理 74

2.5.1 问题提出 74

2.5.2 概念入门 74

2.5.3 主要结论 75

2.5.4 例题选讲 79

2.5.6 提高性习题 81

2.5.5 基础题训练 81

第3章 内积空间 83

3.1 内积空间与Hilbert空间 83

3.1.1 问题提出 83

3.1.2 概念入门 84

3.1.3 主要结论 84

3.1.4 例题选讲 87

3.1.5 基础题训练 89

3.2 正交性与投影定理 90

3.2.1 问题提出 90

3.2.2 概念入门 90

3.2.3 主要结论 91

3.2.4 基础题训练 93

3.2.5 提高性习题 94

3.3 完备正交系与Fourier级数 95

3.3.1 问题提出 95

3.3.2 概念入门 95

3.3.3 主要结论 96

3.3.4 例题选讲 100

3.3.5 基础题训练 102

3.3.6 提高性习题 103

第4章 有界线性算子和有界线性泛函 105

4.1 有界线性算子 106

4.1.1 问题提出 106

4.1.2 概念入门 106

4.1.3 主要结论 108

4.1.4 例题选讲 110

4.1.5 基础题训练 114

4.1.6 提高性习题 114

4.2 共轭空间与泛函延拓定理 115

4.2.1 问题提出 115

4.2.2 概念入门 116

4.2.3 主要结论 117

4.2.4 例题选讲 122

4.2.5 基础题训练 126

4.2.6 提高性习题 127

4.3 有界线性算子的基本定理 128

4.3.1 问题提出 128

4.3.2 概念入门 128

4.3.3 主要结论 130

4.3.4 例题选讲 133

4.3.5 基础题训练 136

4.4.1 问题提出 137

4.4 共轭算子 137

4.3.6 提高性习题 137

4.4.2 概念入门 138

4.4.3 主要结论 138

4.4.4 例题选讲 140

4.4.5 基础题训练 141

4.5 各种收敛性 142

4.5.1 问题提出 142

4.5.2 概念入门 142

4.5.3 主要结论 143

4.5.4 例题选讲 145

4.5.5 基础题训练 146

4.5.6 提高性习题 147

第5章 有界线性算子的谱分析 149

5.1 有界线性算子的谱 150

5.1.1 问题提出 150

5.1.2 概念入门 150

5.1.3 主要结论 151

5.1.4 例题选讲 155

5.1.5 基础题训练 157

5.1.6 提高性习题 158

5.2.2 概念入门 159

5.2.3 主要结论 159

5.2.1 问题提出 159

5.2 全连续算子的谱分析 159

5.2.4 例题选讲 164

5.2.5 基础题训练 165

5.2.6 提高性习题 166

5.3 自伴算子的谱分析 167

5.3.1 问题提出 167

5.3.2 概念入门 167

5.3.3 主要结论 168

5.3.4 例题选讲 177

5.3.5 基础题训练 178

5.3.6 提高性习题 179

第6章 广义函数与Sobolev空间 181

6.1 基本函数空间与广义函数空间 182

6.1.1 问题提出 182

6.1.2 概念入门 183

6.1.3 主要结论 187

6.1.4 例题选讲 192

6.1.5 基础题训练 195

6.1.6 提高性习题 195

6.2.2 概念入门 196

6.2.1 问题提出 196

6.2 广义函数的运算 196

6.2.3 主要结论 199

6.2.4 例题选讲 201

6.2.5 基础题训练 203

6.3 Sobolev空间 204

6.3.1 问题提出 204

6.3.2 概念入门 204

6.3.3 主要结论 206

附录 基础题训练与提高性习题部分参考解答或提示 211

参考文献 231