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第1章 函数 极限 连续性 1

1.1 集合 映射 函数 1

1.1.1 几个常用的逻辑符号 1

1.1.2 数集的记号 1

1.1.3 集合及其运算 2

1.1.4 直积与关系 3

1.1.5 映射与函数 4

1.1.6 常见函数的定义域 5

1.1.7 邻域 5

1.1.8 几个重要的分段函数 6

1.1.9 函数的奇偶性 7

1.1.10 函数的有界性 9

1.1.12 反函数 13

1.1.11 函数的周期性 13

1.1.13 复合函数 15

1.1.14 基本初等函数 16

1.1.15 初等函数 21

1.1.16 双曲函数 22

1.2 数列的极限 23

1.2.1 数列的概念 23

1.2.2 数列的极限 24

1.2.3 一些重要的数列极限 25

1.2.4 数列极限的斯托尔茨定理 26

1.2.5 数列极限的性质 27

1.2.6 数列与子数列的敛散性关系 27

1.2.7 数列收敛的两个准则 28

1.2.8 数列极限的运算法则 29

1.3.1 函数极限？f(x)=A 30

1.3 函数的极限 30

1.2.9 数列敛散性的若干性质 30

1.3.2 单侧极限 31

1.3.3 函数f（？）在x=0处的单侧极限和极限 32

1.3.4 函数极限？f(x)=A 33

1.3.5 一些单向极限存在但极限？f（x）不存在的函数 35

1.3.6 函数极限的6种定义 36

1.3.7 函数极限的性质 36

1.3.8 函数极限与数列极限的关系 37

1.4 无穷小与无穷大 38

1.4.1 无穷小 38

1.4.2 无穷小的运算性质 38

1.4.3 无穷大 39

1.4.4 无穷大定义一览表 40

1.4.6 无穷大与无穷小的倒数关系 41

1.4.5 无穷大的运算性质 41

1.4.7 无穷大与无界函数的关系 42

1.5 极限的运算法则 44

1.5.1 极限的四则运算法则 44

1.5.2 一些基本极限 44

1.5.3 多项式函数与有理函数的极限 44

1.6 函数极限存在准则两个重要极限 46

1.6.1 函数极限存在的两个准则 46

1.6.2 重要极限？=1 47

1.6.3 重要极限？（1＋？）x=e 48

1.6.4 其他重要极限 49

1.7 无穷小的比较 49

1.7.1 无穷小比较的定义 49

1.7.2 高阶无穷小的运算律 50

1.7.4 等价无穷小的性质 51

1.7.3 无穷小的阶的运算律 51

1.7.5 常见的等价无穷小 52

1.7.6 更高阶的等价无穷小 52

1.7.7 等价无穷小代换定理 53

1.7.8 在加减项之间进行等价无穷小代换 53

1.7.9 几个有用的等价无穷小代换 54

1.7.10 无穷大的比较 55

1.8 函数的连续性与间断点 55

1.8.1 函数的连续性 55

1.8.2 间断点的分类 56

1.8.3 连续函数的运算 57

1.8.4 幂指函数的极限 59

1.8.5 幂指函数极限中的等价无穷小代换 60

1.8.6 初等函数的连续性 61

1.8.7 闭区间上连续函数的性质 62

第2章 导数与微分 63

2.1 导数概念 63

2.1.1 导数的定义 63

2.1.2 导数的各种形式 63

2.1.3 单侧导数 64

2.1.4 导数的几何意义 65

2.1.5 可导与连续的关系 66

2.1.6 导数模型一览表 67

2.1.7 基本初等函数的导数公式 68

2.1.8 双曲函数和反双曲函数的导数公式 69

2.2 函数的求导法则 69

2.2.1 导数的四则运算法则 69

2.2.2 反函数的求导法则 70

2.2.3 复合函数的求导法则：链式法则 71

2.2.4 隐函数的求导法则 73

2.2.5 对数求导法 74

2.2.6 由参数方程所确定的函数的导数 76

2.2.7 参数曲线的切线与法线 77

2.2.8 由极坐标方程所确定的函数的导数 77

2.2.9 相关变化率 78

2.3 一些特殊的求导方法 78

2.3.1 分段函数的导数 78

2.3.2 带绝对值的函数的导数 81

2.3.3 奇（偶）函数和周期函数的导数 83

2.4 高阶导数 84

2.4.1 高阶导数的定义 84

2.4.2 高阶导数的运算法则 84

2.4.4 复合函数的二阶导数 85

2.4.3 一些重要的高阶导数公式 85

2.4.5 由参数方程所确定的函数的高阶导数 86

2.4.6 隐函数的二阶导数 87

2.4.7 反函数的高阶导数 87

2.4.8 带绝对值的函数的高阶导数 88

2.5 微分 88

2.5.1 微分的概念 88

2.5.2 基本初等函数的微分公式 90

2.5.3 微分的运算法则 90

2.5.4 微分在近似计算中的应用 91

第3章 中值定理与导数的应用 93

3.1 中值定理 93

3.1.1 罗尔定理 93

3.1.2 罗尔定理的应用 93

3.1.3 拉格朗日中值定理 94

3.1.4 拉格朗日中值定理的应用 95

3.1.5 柯西中值定理 96

3.1.6 三个中值定理之间的关系 97

3.1.7 泰勒公式 97

3.1.8 一些重要的麦克劳林公式 99

3.2 洛必达法则 101

3.2.1 基本未定式 101

3.2.2 其他未定式 102

3.2.3 使用洛必达法则的注意事项 103

3.3 函数的单调性 104

3.3.1 函数单调性的判定定理 104

3.3.2 求函数的单调区间的步骤 104

3.3.3 函数的单调性的应用 104

3.4.2 极值的必要条件 106

3.4.3 极值的充分条件 106

3.4 函数的极值与最值 106

3.4.1 极值的定义 106

3.4.4 求函数极值的步骤 108

3.4.5 函数的最值 108

3.5 曲线的凹凸性与拐点 110

3.5.1 曲线的凹凸性 110

3.5.2 拐点 112

3.5.3 利用凹凸性证明不等式 114

3.6 渐近线 114

3.6.1 渐近线的定义及类型 114

3.6.2 求渐近线的步骤 115

3.6.3 求渐近线的一些特殊方法 116

3.7.2 曲率的计算公式 117

3.7 曲率 117

3.7.1 曲率的定义 117

3.7.3 曲率半径与曲率圆 118

第4章 不定积分 119

4.1 不定积分的概念与性质 119

4.1.1 原函数的概念与性质 119

4.1.2 不定积分的概念与性质 119

4.1.3 分段函数的不定积分 120

4.2 不定积分公式 121

4.2.1 基本积分公式 121

4.2.2 其他常用的积分公式 122

4.2.3 6个三角函数的平方的积分公式 123

4.3 换元积分法 124

4.3.1 第一类换元法（凑微分法） 124

4.2.4 有关双曲函数的积分公式 124

4.3.2 第一类换元法常见类型 125

4.3.3 其他凑微分公式 126

4.3.4 第二类换元法 127

4.3.5 第二类换元法常见类型 127

4.4 分部积分法 130

4.4.1 分部积分法 130

4.4.2 常见的分部积分法类型 130

4.4.3 反函数的不定积分 133

4.5 有理函数的积分 133

4.5.1 有理函数的积分 133

4.5.2 三角有理函数的积分 134

4.5.3 一些“积不出”的不定积分 135

5.1 定积分的概念与性质 137

5.1.1 定积分的概念 137

第5章 定积分 137

5.1.2 定积分的性质 140

5.1.3 积分模型一览表 142

5.2 微积分基本公式 143

5.2.1 积分上限函数及其导数 143

5.2.2 微积分基本公式（牛顿－莱布尼茨公式） 144

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 145

5.3.1 定积分的凑微分法 145

5.3.2 定积分的换元法 145

5.3.3 一些重要的定积分等式 146

5.3.4 一些含参数的积分等式 150

5.3.5 奇（偶）函数及周期函数的原函数与定积分 150

5.3.6 分段函数的定积分 153

5.3.7 定积分的分部积分法 153

5.3.8 反函数的定积分 154

5.4 广义积分 156

5.4.1 无穷限的广义积分的定义 156

5.4.2 几个重要的无穷限的广义积分 156

5.4.3 无穷限的广义积分的计算方法 158

5.4.4 无界函数的广义积分（瑕积分）的定义 158

5.4.5 几个重要的无界函数的广义积分 159

5.4.6 无界函数的广义积分的计算方法 159

5.4.7 Γ函数 161

第6章 定积分的应用 162

6.1 平面图形的面积 162

6.1.1 直角坐标情形 162

6.1.2 极坐标情形 163

6.1.3 参数曲线情形 163

6.2.2 旋转体的体积 165

6.2 体积 165

6.2.1 平行截面面积为已知的立体的体积 165

6.3 平面曲线的弧长 旋转曲面的面积 167

6.3.1 弧微分公式 167

6.3.2 平面曲线的弧长 168

6.3.3 旋转曲面的面积 169

6.4 定积分在物理学中的应用 170

6.4.1 变力沿直线所做的功 170

6.4.2 抽水做功 170

6.4.3 水压力 171

第7章 空间解析几何与向量代数 173

7.1 向量及其线性运算 173

7.1.1 向量的概念 173

7.1.2 向量的线性运算 173

7.1.3 空间直角坐标系 175

7.1.4 利用坐标进行向量的线性运算 176

7.2 数量积 向量积 混合积 177

7.2.1 数量积 177

7.2.2 数量积的坐标运算 178

7.2.3 向量积 179

7.2.4 向量积的坐标运算 180

7.2.5 混合积 181

7.2.6 混合积的坐标运算 182

7.3 曲面及其方程 183

7.3.1 曲面方程的类型 183

7.3.2 球面 184

7.3.3 旋转曲面 184

7.3.4 一些旋转曲面 186

7.3.6 一般旋转曲面的求法 187

7.3.5 旋转曲面的参数方程 187

7.3.7 柱面 189

7.3.8 一些柱面 190

7.3.9 一般柱面的求法 190

7.3.10 锥面 191

7.3.11 一些二次曲面 193

7.4 空间曲线及其方程 194

7.4.1 空间曲线方程的类型 194

7.4.2 一些重要的空间曲线 195

7.4.3 空间曲线在坐标面上的投影曲线 195

7.5 平面及其方程 196

7.5.1 平面方程 196

7.5.2 具有特殊位置的平面 197

7.5.3 两平面之间的位置关系 198

7.5.4 三平面之间的位置关系 199

7.6 空间直线及其方程 201

7.6.1 空间直线方程 201

7.6.2 两直线之间的位置关系 202

7.6.3 直线与平面之间的位置关系 203

7.6.4 距离公式 204

7.6.5 平面束 206

第8章 多元函数微分法及其应用 207

8.1 多元函数的基本概念 207

8.1.1 多元函数的概念 207

8.1.2 多元函数的极限 208

8.1.3 多元函数的连续性 209

8.2 偏导数 210

8.2.1 偏导数的定义 210

8.2.3 多元函数可偏导与连续性的关系 211

8.2.2 求偏导数的方法 211

8.2.4 高阶偏导数 212

8.3 全微分 213

8.3.1 全微分的定义 213

8.3.2 多元函数可微的必要条件和充分条件 213

8.3.3 多元函数可微、可偏导、连续和有极限之间的关系 214

8.3.4 全微分的计算公式 214

8.3.5 全微分在近似计算中的应用 215

8.4 多元复合函数的微分法 215

8.4.1 多元复合函数的求导法则：链式法则 215

8.4.2 多元复合函数的二阶偏导数 217

8.4.3 复合函数的全微分——全微分形式不变性 218

8.4.4 偏导数的变量代换 219

8.5.1 由一个方程所确定的隐函数的导数和偏导数 220

8.5 隐函数的微分法 220

8.5.2 隐函数求偏导数的方法 221

8.5.3 由方程组所确定的隐函数的导数和偏导数 222

8.5.4 反函数组的雅可比行列式 224

8.6 多元函数微分学的几何应用 225

8.6.1 空间曲线的切线与法平面 225

8.6.2 曲面的切平面与法线 226

8.6.3 二次曲面的切平面的简便求法 226

8.7 方向导数与梯度 227

8.7.1 方向导数和梯度的定义 227

8.7.2 方向导数的计算公式 228

8.7.3 梯度的运算律 229

8.8 多元函数的极值 230

8.8.1 多元函数极值的必要条件 230

8.8.3 求二元函数极值的步骤 231

8.8.2 二元函数极值的充分条件 231

8.8.4 多元函数极值的充分条件 232

8.8.5 条件极值 拉格朗日乘数法 233

第9章 重积分 236

9.1 二重积分的概念与性质 236

9.1.1 二重积分的概念 236

9.1.2 二重积分的性质 237

9.2 二重积分的计算 238

9.2.1 利用直角坐标计算二重积分 238

9.2.2 计算二重积分的步骤 240

9.2.3 交换积分次序 241

9.2.4 利用对称性化简二重积分 242

9.2.5 利用极坐标计算二重积分 244

9.2.6 二重积分的变量替换 247

9.3.1 二重积分的几何应用 250

9.3 二重积分的应用 250

9.3.2 二重积分的物理应用 251

9.4 三重积分的概念与计算 253

9.4.1 三重积分的概念与性质 253

9.4.2 利用直角坐标计算三重积分 253

9.4.3 三重积分的“先二后一”积分法 254

9.4.4 利用对称性化简三重积分 255

9.5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分 257

9.5.1 柱面坐标 257

9.5.2 利用柱面坐标计算三重积分 259

9.5.3 球面坐标 260

9.5.4 利用球面坐标计算三重积分 262

9.5.5 选择适当的坐标计算三重积分的方法 263

9.5.6 三重积分的变量替换 264

9.5.7 三重积分的物理应用 265

第10章 曲线积分与曲面积分 266

10.1 对弧长的曲线积分 266

10.1.1 对弧长的曲线积分的概念 266

10.1.2 对弧长的曲线积分的性质 267

10.1.3 对弧长的曲线积分的计算 267

10.1.4 对弧长的曲线积分化为定积分的步骤 268

10.1.5 利用对称性化简对弧长的曲线积分 269

10.1.6 对弧长的曲线积分的应用 271

10.1.7 对弧长的曲线积分的其他物理应用 271

10.2 对坐标的曲线积分 272

10.2.1 对坐标的曲线积分的概念 272

10.2.2 对坐标的曲线积分的性质 273

10.2.3 对坐标的曲线积分的计算 274

10.2.4 对坐标的曲线积分化为定积分的步骤 275

10.2.5 对坐标的曲线积分的应用 275

10.2.6 两类曲线积分之间的联系 276

10.3 格林公式 276

10.3.1 格林公式 276

10.3.2 利用格林公式计算对坐标的曲线积分 277

10.4 平面上曲线积分与路径无关的条件 279

10.4.1 曲线积分与路径无关的等价条件 279

10.4.2 曲线积分的基本定理 279

10.4.3 利用曲线积分与路径无关的条件计算曲线积分 280

10.4.4 二元函数的全微分求积 281

10.4.5 选择对坐标的曲线积分的计算方法 281

10.5 对面积的曲面积分 282

10.5.1 对面积的曲面积分的概念与性质 282

10.5.2 对面积的曲面积分的计算 283

10.5.3 对面积的曲面积分化为二重积分的步骤 284

10.5.4 利用对称性化简对面积的曲面积分 284

10.5.5 对面积的曲面积分的应用 286

10.6 对坐标的曲面积分 286

10.6.1 对坐标的曲面积分的概念与性质 286

10.6.2 对坐标的曲面积分的计算 288

10.6.3 计算对坐标的曲面积分的“三合一”公式 288

10.6.4 对坐标的曲面积分的应用 289

10.6.5 两类曲面积分之间的联系 290

10.7 高斯公式 290

10.7.1 高斯公式 290

10.7.2 利用高斯公式计算对坐标的曲面积分 291

10.8.1 散度与旋度 292

10.8 散度与旋度 斯托克斯公式 292

10.7.3 选择对坐标的曲面积分的计算方法 292

10.8.2 散度和旋度的运算法则 293

10.8.3 梯度、散度、旋度的二阶运算 294

10.8.4 斯托克斯公式 294

第11章 无穷级数 296

11.1 常数项级数的概念与性质 296

11.1.1 无穷级数的收敛与发散 296

11.1.2 无穷级数的性质 296

11.1.3 几个重要的级数 298

11.2 正项级数的审敛法 299

11.2.1 正项级数的收敛定理 299

11.2.2 比较审敛法 299

11.2.3 常用来进行比较的正项级数 302

11.2.4 比值审敛法 303

11.2.5 根值审敛法 304

11.2.6 积分审敛法 305

11.2.7 正项级数的一些性质 305

11.3 任意项级数的敛散性 306

11.3.1 绝对收敛与条件收敛 306

11.3.2 绝对收敛的审敛法 307

11.3.3 绝对收敛（条件收敛）级数的运算性质 308

11.3.4 交错级数及其审敛法 308

11.3.5 级数的重排 绝对收敛与条件收敛的区别 309

11.3.6 判断级数敛散性的一般步骤 311

11.3.7 利用级数收敛的必要条件证明数列极限？un=0 311

11.3.8 一些无穷级数的和 312

11.4 幂级数 312

11.4.1 幂级数及其收敛性 312

11.4.2 幂级数的收敛半径和收敛区间 314

11.4.3 求幂级数的收敛半径和收敛域的步骤 315

11.4.4 幂级数的运算 316

11.4.5 和函数的分析性质 316

11.4.6 几个常见的幂级数的和函数 317

11.5 函数展开成幂级数 318

11.5.1 泰勒级数 318

11.5.2 一些函数的麦克劳林级数 319

11.5.3 函数展开成幂级数的方法 319

11.6 傅里叶级数 320

11.6.1 傅里叶级数 320

11.6.2 傅里叶级数的收敛定理 321

11.6.3 奇（偶）函数的傅里叶级数 322

11.6.4 周期函数展开成傅里叶级数的步骤 322

11.6.6 周期延拓与奇（偶）延拓 323

11.6.5 如何写出函数的傅里叶级数的和函数 323

11.6.7 周期为2l的周期函数的傅里叶级数 324

第12章 微分方程 326

12.1 微分方程的基本概念 326

12.1.1 微分方程 326

12.1.2 微分方程的解 326

12.1.3 微分方程的初值问题 326

12.2 一阶微分方程 327

12.2.1 简单的一阶微分方程 327

12.2.2 可分离变量的微分方程 327

12.2.3 齐次方程 328

12.2.4 一阶线性微分方程 329

12.2.5 伯努利方程 330

12.2.6 全微分方程（恰当方程） 331

12.3.2 两种特殊的二阶微分方程 332

12.3 可降阶的高阶微分方程 332

12.3.1 y(n)=f（x）型的微分方程 332

12.4 高阶线性微分方程 333

12.4.1 齐次线性微分方程的通解结构 333

12.4.2 函数组的线性相关性 334

12.4.3 非齐次线性微分方程的通解结构 334

12.4.4 非齐次线性微分方程的解的叠加原理 335

12.4.5 二阶常系数齐次线性微分方程 336

12.4.6 二阶常系数非齐次线性微分方程 337

12.4.7 二阶常系数非齐次线性微分方程的特解的求法 338

12.4.8 二阶常系数非齐次线性微分方程的复数解法 339

12.4.9 欧拉方程 340

参考文献 342

A.1.3 不等式 343

A.1.2 一元二次方程 343

附录A 常用初等数学公式 343

A.1 初等代数 343

A.1.1 乘法和因式分解 343

A.1.4 指数 344

A.1.5 对数 344

A.1.6 复数 345

A.1.7 数列 345

A.1.8 行列式 346

A.1.9 线性方程组的解（克拉默法则） 346

A.2 初等几何 347

A.2.1 平面图形 347

A.2.2 立体图形 348

A.3.2 三角函数的定义 349

A.3.3 三角函数的基本关系 349

A.3.1 弧度和度的关系 349

A.3 三角函数 349

A.3.4 诱导公式 350

A.3.5 特殊的三角函数值 350

A.3.6 和差公式 351

A.3.7 倍角公式与半角公式 351

A.3.8 积化和差与和差化积公式 351

A.3.9 三角形的边角关系 351

A.4 解析几何 352

A.4.1 直线 352

A.4.2 二次曲线 353

A.4.3 参数方程 354

A.4.4 极坐标 355