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第零章　导引 1

0.1 逻辑：量词 1

0.2 逻辑连接词 3

0.3　量词的否定 6

0.4　集合 7

0.5　限制变量 8

0.6 序对与关系 9

0.7　函数与映射 11

0.8　积集；指标记号 13

0.9　合成 15

0.10　对偶性 16

0.11　布尔运算 18

0.12　分拆与等价关系 20

第一章　向量空间 23

1.1　基本概念 23

1.2 量空间与几何 39

1.3　积空间与Hom（V,W） 46

1.4 仿射子空间与商空间 56

1.5　直和 61

1.6　双线性性 73

第二章　有限维向量空间 77

2.1　基 77

2.2　维数 84

2.3　对偶空间 88

2.4　矩阵 96

2.5　迹与行列式 107

2.6　矩阵计算 111

＊2.7　二次型的对角化 120

第三章　微分学 126

3.1　回顾R中的情形 127

3.2　范数 131

3.3 连续性 137

3.4　等价的范数 143

3.5　无穷小 148

3.6　微分 152

3.7　方向导数；中值定理 158

3.8　微分与积空间 164

3.9　微分和Rn 169

3.10　初步应用 174

3.11　隐函数定理 178

3.12　子流形和拉格朗日乘子 186

＊3.13　函数相关性 190

＊3.14　一致连续性和取函数为值的映射 194

＊3.15　变分法 198

＊3.16　二阶微分和判别点的分类 201

＊3.17　高阶微分；泰勒公式 207

第四章　紧性和完备性 212

4.1　度量空间；开集和闭集 213

＊4.2　拓扑 218

4.3　序列的收敛性 219

4.4　列紧性 223

4.5　紧性和一致性 228

4.6　等度连续性 234

4.7　完备性 235

4.8 拿赫代数初探 243

4.9　压缩映射不动点定理 249

4.10　参数弧的积分 257

4.11　复数系 263

＊4.12　弱方法 267

第五章　内积空间 270

5.1　内积（纯量积） 270

5.2　正交投影 275

5.3　自伴变换 280

5.4　正交变换 285

5.5　紧变换 288

第六章　微分方程 291

6.1　基本定理 291

6.2　对参数的可微依赖性 300

6.3　线性方程 302

6.4　n阶线性方程 307

6.5　解非齐次方程 315

6.6　边值问题 322

6.7　傅里叶级数 329

第七章　多重线性泛函 334

7.1 线性泛函 334

7.2　多重线性泛函 336

7.3　置换 337

7.4　置换的符号 339

7.5　交错张量子空间an 340

7.6 行列式 342

7.7 外代数 346

7.8 内积空间的外幂 350

7.9　星号算子 351

第八章　积分 353

8.1　引言 353

8.2　公理 354

8.3　矩形和可铺集合 357

8.4　极小理论 360

8.5　极小理论（续） 362

8.6　可度集合 365

8.7　何时可度？ 367

8.8　在线性畸变下的行为 370

8.9　积分的公理 371

8.10　可度函数的积分 373

8.11　换元公式 378

8.12　累次积分 382

8.13　绝对可积函数 388

8.14　问题汇编：傅里叶变换 393

第九章　微分流形 402

9.1　总图表 403

9.2　函数，收敛性 407

9.3　微分流形 409

9.4　切空间 413

9.5　流与向量场 417

9.6　李导数 426

9.7　线性微分形式 434

9.8　用坐标计算 437

9.9　黎曼度量 442

10.1　紧性 449

第十章　流形上的积分学　 449

10.2　1的分解 451

10.3　密度 455

10.4　黎曼度量的体积密度 458

10.5　密度的拉回和它的李导数 464

10.6　散度定理 468

10.7　更加复杂的区域 474

第十一章　外微积分 478

11.1　外微分形式 478

11.2　定向流形和外微分形式的积分 483

11.3　算子d 489

11.4　斯托克斯定理 494

11.5　斯托克斯定理的一些例示 501

11.6　微分形式的李导数 504

附录Ⅰ　“向量分析” 511

附录Ⅱ　E3中曲面的初等微分几何 513

第十二章　IEn中的位势理论 530

12.1 体角 530

12.2 格林公式 532

12.3　极大值原理 534

12.4　格林函数 536

12.5　泊松积分公式 539

12.6　泊松积分公式的推论 542

12.7　哈纳克定理 545

12.8　次调和函数 547

12.9　狄利克雷问题 549

12.10 边界附近的行为 553

12.11　狄利克雷原理 558

12.12　物理应用 559

12.13　问题汇编：留数计算 562

第十三章　经典力学 567

13.1　切丛和余切丛 569

13.2　变分方程 571

13.3　T＊（M）上的基本线性微分形式 574

13.4　T＊（M）上的基本外2-形式 577

13.5　哈密顿力学 580

13.6　中心力问题 583

13.7　二体问题 588

13.8　拉格朗日方程 590

13.9　变分原理 593

13.10　测地坐标 598

13.11　欧拉方程 603

13.12　刚体运动 606

13.13　小振动 613

13.14　小振动（续） 615

13.15　典型变换 621

参考文献 631

记号 635

索引 639