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第一章 线性空间与线性变换 1

1.1 线性空间 1

1.2 基变换与坐标变换 4

1.3 线性子空间 7

1. 子空间的概念 7

2. 子空间的和、交、直和 8

1.4 线性变换 12

1. 线性变换的概念 12

2. 线性变换与矩阵 13

3. 线性变换的值域与核 18

4. 线性变换的不变子空间 20

1. 特征值与特征向量 22

1.5 特征值与特征向量 22

2. 化矩阵为对角矩阵 26

习题 27

第二章 λ-矩阵与标准形 31

2.1 λ-矩阵的概念 31

2.2 λ-矩阵的标准形 33

1. λ-矩阵的标准形 33

2. 不变因子与初等因子 35

2.3 λ-矩阵的除法 44

2.4 矩阵相似的条件 50

2.5 矩阵的有理标准形 52

2.6 矩阵的Jordan标准形 55

习题 61

3.1 函数矩阵 64

第三章 函数矩阵 64

3.2 函数矩阵对纯量的导数与积分 67

3.3 函数向量的线性相关性 69

第四章 酉矩阵 Hermite矩阵 73

4.1 酉空间 73

1. 内积与酉空间 73

2. 酉空间的性质 75

4.2 正交矩阵与酉矩阵 81

1. 正交矩阵与酉矩阵的性质 81

2. 酉矩阵的特征值 83

3. 酉矩阵的标准形 84

4.3 Schmidt正交化方法 87

1. Schmidt正交化方法 87

2. 矩阵的UR分解与QR分解 89

4.4 二次齐式与对称矩阵 97

4.5 Hermite矩阵与Hermite齐式 102

1. Hermite矩阵 102

2. Hermite矩阵的特征值与特征向量 102

3. Hermite齐式 107

4.6 正定Hermite矩阵 108

4.7 Rayleigh商 118

习题 122

第五章 正规矩阵与矩阵偶的标准形 126

5.1 正规矩阵 126

5.2 实正规矩阵在正交相似下的标准形 132

5.3 反对称矩阵在相合下的标准形 143

5.4 Hermite矩阵偶在相合下的标准形 145

5.5 单纯矩阵偶在相似下的标准形 151

第六章 矩阵的分解 157

6.1 矩阵的正交三角分解 157

习题 158

6.2 矩阵的三角分解 158

6.3 矩阵的奇异值分解 163

6.4 矩阵的极分解 169

6.5 单纯矩阵的谱分解 171

第七章 范数 测度 175

7.1 向量范数 175

7.2 向量范数的等价性 178

7.3 矩阵范数 180

7.4 矩阵的谱范数和谱半径 184

7.5 矩阵测度 186

习题 190

第八章 矩阵序列和矩阵级数 192

8.1 向量序列与极限 192

8.2 矩阵序列与极限 193

8.3 矩阵级数 197

8.4 矩阵幂级数 202

习题 210

第九章 矩阵函数 212

9.1 矩阵多项式 212

9.2 矩阵谱上的函数 222

9.3 矩阵函数的定义 224

9.4 矩阵函数的性质 225

9.5 矩阵函数的Lagrang-Sylvester内插多项式表示 229

9.6 矩阵函数的谱分解与矩阵分量 232

9.7 矩阵函数的幂级数表示 235

习题 237

第十章 矩阵微分方程 239

10.1 形如dX(t)/dt=A(t)X(t)的方程 239

10.2 线性齐次向量微分方程 247

10.3 状态转移矩阵 251

10.4 线性非齐次向量微分方程 252

习题 254

第十一章 Kronecket积与矩阵代数方程 256

11.1 Kronecker积 256

11.2 Kronecker积的特征值 261

11.3 矩阵的列展开与行展开 262

11.4 线性矩阵代数方程 264

习题 270

第十二章 广义逆矩阵 272

12.1 广义逆矩阵的概念及其性质 272

12.2 自反广义逆矩阵 274

12.3 伪逆矩阵 276

12.4 A+的各种表示 277

12.5 在线性方程组中的应用 281

12.6 在矩阵方程AXB=C中的应用 283

习题 284

名词索引 286

参考文献 289