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前言 1

第一章 射影平面 1

1.1 无穷远元素 1

1.无穷远点和无穷远直线 1

2.射影点和射影直线的基本性质 2

1.2 平面射影几何的基本特征 3

1.接合关系 3

2.中心射影 4

4.射影直线上4相异点的分离关系 5

3.射影直线的拓扑模型 5

5.射影平面被射影直线划分成不连通域 7

6.射影直线的连续性和实射影几何 8

7.射影平面的拓扑模型 8

1.3 平面射影坐标系 10

1.齐次坐标的引进 10

2.平面射影坐标系 12

3.直线坐标 13

4.向量运算 14

1.点列和线束 16

2.1维射影坐标系 16

1.4 坐标变换 16

3.1维坐标变换 19

4.2维坐标变换 20

1.5 Desargues 定理，平面对偶原则 24

1.Desargues 定理 24

2.调和点组和调和线组 26

3.平面对偶原则 30

习题 32

2.1 射影变换和射影变换群 35

1.映射 35

第二章 射影变换 35

2.群、变换群 37

3.1维射影变换 38

4.2维射影变换 43

2.2 交比 50

1.共线4点的交比 50

2.共线4点的24个交比的关系 52

3.交比与射影对应 55

4.交比和点的坐标 56

5.射影变换与调和点组 59

1.点列和线束的透视对应 64

2.3 透视对应 64

2.Pappus 定理 68

2.4 直线上点列的射影对应 72

1.对合 72

2.射影对应点列的固定点 75

3.对合的分类 77

4.Desargues 第二定理 77

2.5 直射变换 79

1.点场的直射变换的固定点和固定直线 79

2.透射变换和直移变换 80

3.调和透射变换 82

4.以定直线为轴的直移变换群 83

习题 84

第三章 配极变换和二阶曲线 88

3.1 对射变换和配极变换 88

1.对射变换 88

2.配极变换 90

3.共轭点对和共轭直线对 93

4.自共轭点和自共轭直线 94

5.自配极三点形 97

6.配极变换的分类 99

3.2 二阶曲线和二级曲线 101

1.二阶曲线 101

2.极点、极线 103

3.二阶曲线方程的另一种简化形式 106

4.二级曲线 107

3.3 Pascal 定理和 Brianchon 定理 107

1.Steiner 定理 107

2.Pascal 定理 110

3.Pascal 定理的推论 112

4.Brianchon 定理 115

3.4 二阶点列的射影对应 116

1.二阶点列及其射影对应 116

2.同底二阶点列的射影对应 117

3.一阶点列和二阶点列的透视对应 119

4.二阶点列的对合对应 120

3.5 二阶曲线的射影分类 121

3.6 Desargues 第二定理 123

习题 126

1.仿射变换 131

第四章 仿射平面和欧氏平面 131

4.1 仿射变换群 131

2.特殊的仿射变换 134

3.仿射变换群 135

4.2 仿射平面 136

1.仿射平面 136

2.图形的仿射性质 137

3.仿射坐标系和2维向量 143

4.二阶曲线的仿射分类 146

5.平面仿射几何 148

4.3 相似变换群 150

1.相似变换 150

2.相似变换群 152

3.绝对直线上的绝对对合 154

4.正交性和标准正交基底 156

5.图形在相似变换下的不变量 158

6.相似度量几何 161

4.4 正交变换群和欧氏平面 161

1.正交变换和正交变换群 161

3.两类正交变换的分析 164

2.欧氏平面 164

4.两类相似变换的分析 166

4.5 Klein 的变换群观点 168

习题 169

第五章 3维射影空间 172

5.1 3维射影空间的基本特征 172

1.无穷远平面 172

2.3维射影空间的基本特征和公理 173

5.2 3维射影坐标系 175

1.点和平面的坐标 175

2.3维空间对偶原则 177

3.P1?cker 坐标 178

4.坐标变换 183

5.3 直射变换和点面变换 185

1.直射变换 185

2.点面变换 186

3.配极变换 188

5.4 二阶曲面 190

1.二阶曲面 190

2.二阶曲面的射影分类 191

1.3维仿射空间 192

5.5 3维仿射空间和3维欧氏空间 192

2.3维欧氏空间 194

3.3维正交变换 199

习题 200

第六章 公理法和不同的射影几何体系 203

6.1 公理法大意 203

1.公理法思想的起源 203

2.公理法思想 205

3.公理体系的相容性、独立性和完备性问题 207

4.公理的正确性问题和公理法的重要意义 209

6.2 实射影几何基础 210

1.2维实射影几何的公理体系 210

2.3维实射影几何的公理体系 214

3.3维空间对偶原则 215

4.Desargues 定理 218

5.2维实射影几何公理体系的相容性 222

6.2维实射影几何公理体系的完备性 229

7.非 Desargues 平面 230

8.有限射影平面 PG(2，2) 234

1.点和子空间 238

6.3 n 维实射影几何 238

2.Grassmann 坐标 240

3.直射变换 242

4.对射变换和配极变换 243

6.4 复射影几何 246

1.虚元素的引进 246

2.复射影平面 249

3.Laguerre 公式 251

4.n 阶矩阵的低 Jordan 法式 252

5.直射变换的分类 256

6.5 2维双曲几何 261

1.双曲平面的变换群和绝对形 261

2.双曲平面的线段度量 264

3.双曲平面上角的度量 266

6.6 2维单叶椭圆几何 269

1.单叶椭圆几何的变换群和绝对形 269

2.单叶椭圆平面的线段度量 270

3.单叶椭圆平面的角的度量 272

4.抛物、双曲、椭圆等3种几何的命名 273

习题 274