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第一章 函数、极限、连续 1

1-1 一元函数 1

一、求函数的表示式和定义域 1

第一部分 高等数学 1

二、求函数值 3

1-2 极限 5

一、求特定式的极限 5

二、求非特定式的极限 12

三、函数极限的局部逆问题的解法 12

四、函数极限综合题的解法 13

五、求分段函数的极限 14

七、求数列的极限 15

六、无穷小的阶的比较 15

1-3 函数的连续性 21

一、函数的连续性讨论 21

二、确定函数的间断点及其类型 23

三、在闭区间上的连续函数的性质的应用 23

第二章 一元函数的微分学 27

2-1 导数和微分 27

一、求函数的导数的基本方法 27

二、不同形式的函数的求导方法 31

三、求函数的高阶导数 32

四、求函数的微分 34

二、研究函数的单调增减法 37

16-2 参数估计 37

2-2 导数和微分的应用 37

一、求平面曲线的切线和法线方程 37

三、求函数的极限和最值 38

四、研究曲线的凹凸性 41

五、证明中值命题 42

六、证明方程的根的存在性与个数 46

七、证明不等式 48

八、求曲线的曲率、曲率半径和曲率圆 51

第三章 一元函数的积分学 55

3-1 不定积分 55

一、求不定积分的三种基本方法 55

二、几种特殊类型的函数的积分法 60

3-2 定积分 67

一、计算定积分的基本方法 67

二、奇偶函数的定积分的计算 69

三、分段函数(含带绝对值符号的函数)的定积分计算 69

四、证明定积分等式 70

五、证明定积分不等式 71

七、估计定积分的值和证明具体函数的积分不等式 72

六、应用积分中值定理证明中值命题 72

八、求由定积分定义的函数的极限、导数、极值和研究这种函数的单调增减性 73

九、广义积分的计算 75

3-3 定积分的应用 79

一、定积分在几何上的应用 79

二、定积分在物理学上的应用 84

第四章 向量代数和空间解析几何 88

4-1 向量代数 88

一、基本知识 88

二、向量运算举例 89

4-2 空间解析几何 91

一、基本知识 91

二、求平面方程和空间直线方程 94

三、求平面与平面、直线与直线、直线与平面的夹角及点到平面、点到直线的距离 101

四、曲面与空间曲线问题举例 102

第五章 多元函数微分学 105

5-1 多元函数及其极限与连续性 105

一、求二元函数的表达式 105

三、二元函数的极限 106

二、求多元函数的定义域 106

四、多元函数的连续性 108

5-2 偏导数和全微分 109

一、求具体显函数的偏导数 110

二、求复合函数的偏导数或全导意 110

三、求隐函数的偏导数 114

四、复合函数与隐函数的综合题 116

五、求函数的全微分 117

六、求函数的方向导数和梯度 118

七、偏导数与全微分的综合题举例 120

5-3 偏导数的应用 123

一、偏导数在几何上的应用 123

二、偏导数在求多元函数极值方面的应用 127

一、交换二次(累次)积分的积分次序 134

第六章 多元函数积分学 134

6-1 重积分 134

二、二重积分的计算 135

三、证明二重积分等式与不等式 142

四、三重积分的计算 144

6-2 曲线积分 150

一、对弧长的曲线积分的计算 150

二、对坐标的曲线积分的计算 151

三、两类曲线积分的关系 158

6-3 曲面积分 160

一、对面积的曲面积分的计算 161

二、对坐标的曲面积分的计算 163

三、两类曲面积分的关系 167

四、曲面积分证明题举例 167

6-4 重积分、曲线积分及曲面积分的应用 170

一、求几何量 170

二、求物理量 174

二、旋度计算 181

一、散度计算 181

6-5 散度与旋度 181

三、梯度、散度与旋度综合题 182

第七章 无穷级数 184

7-1 常数项级数 184

一、判别正项级数的敛散性 184

三、判别任意项级数的收敛性 186

二、判别交错级数的收敛性 186

四、关于常数项级数敛散性的证明题举例 187

五、求收敛的常数项级数的和 189

7-2 幂级数 192

一、求幂级数的收敛半径和收敛域 192

二、求幂级数在收敛域内的和函数 193

三、利用幂级数的和函数求收敛常数项级数的和 196

四、关于幂级数的敛散性的阿贝尔定理的应用 197

五、将函数展开成幂级数 198

六、幂级数的应用 201

七、求一般函数项级数的收敛域 201

7-3 傅里叶级数 203

二、将函数在［l，l］上展成傅里叶级数 204

一、狄里克雷定理的应用 204

三、将函数在［o，l］上展成正弦级数或余弦级数 205

四、利用函数的傅里叶级数展开式，求收敛常数项级数的和 207

五、其他情况举例 208

第八章 微分方程 212

8-1 一阶微分方程 212

一、可分离变量的微分方程的解法 212

二、线性微分方程的解法 216

三、全微分方程的解法 219

四、一阶微分方程综合题举例 222

五、一阶微分方程应用题举例 224

8-2 可降阶的高阶微分方程 229

一、方程y(n)=f(x)的解法 229

二、方程y =f(x,y )的解法 230

三、方程y =(y,y )的解法 231

四、可降阶的高阶微分方程的综合题与应用题举例 232

8-3 高阶线性微分方程 234

一、线性微分方程解的性质及通解结构 235

二、二阶常系数齐次微分方程及某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程的解法 237

三、二阶常系数非齐次线性微分方程的解法 238

四、可化为常系数的二阶变系数线性微分方程的解法 243

五、包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组的解法 245

六、二阶线性微分方程的综合题与应用题举例 247

8-4 微分方程的幂级数解法 252

一、一阶微分方程的幂级数解法 252

二、二阶齐次线性微分方程的幂级数解法 253

一、计算n阶行列式的基本方法 257

第九章 n阶行列式 257

第二部分 线性代数 257

二、计算n阶行列式的其他方法 260

三、证明行列式等式的方法 264

第十章 矩阵 267

10-1 矩阵的运算 267

一、矩阵的线性运算与乘法运算 267

二、求方阵的幂 268

三、关于矩阵运算的证明题举例 269

四、求与给定矩阵可交换的矩阵 269

10-2 矩阵的逆阵 271

一、求矩阵的逆阵 271

二、解矩阵方程 272

三、有关逆阵的证明题 274

四、方阵的行列式的计算 275

五、求分块矩阵的逆阵 276

一、求矩阵的秩 279

10-3 矩阵的秩 279

二、关于矩阵的秩的证明题举例 280

11-1 向量的运算 281

11-2 向量组的线性相关性 281

一、把一个向量用一向量组线性表示 281

第十一章 向量 281

二、判别向量组的线性相关性 282

三、向量组线性相关性的讨论 285

四、证明向量组线性相关或线性无关 285

五、向量组线性相关或线性无关的充要条件的证明 286

11-3 向量组的秩 288

一、求向量组的秩与最大无关组 289

二、关于向量组的秩的证明题举例 289

四、关于等价向量组的证明题举例 290

三、判别两向量组等价 290

一、判断一个向量集合是否构成向量空间 291

二、求向量空间的基底和维数 291

三、求向量空间中的向量在给定基底下的坐标 291

11-4 向量空间 291

四、求n维向量空间的基变换和过渡矩阵 292

五、求n维向量空间中的向量在不同基底下的坐标变换公式 293

11-5 正交向量组 294

一、已知向量空间的一个基，求它的一个正交单位基 294

二、已知向量空间的一个正交向量组，求它的一个正交单位基 295

第十二章 线性方程组 297

12-1 含有n个未知数n个方程的线性方程组 297

一、克莱姆法则 297

二、线性方程组的矩阵解法 297

二、用初等行变换解齐次线性方程组的方法 298

一、基本知识 298

12-2 齐次线性方程组 298

三、齐次线性方程组中含有参数时解的讨论 300

四、齐次线性方程组的证明题与应用题举例 301

12-3 非齐次线性方程组 303

一、基本知识 304

二、用初等行变换解非齐次线性方程组的方法 304

三、非齐次线性方程组中含有参数时解的讨论 306

四、非齐次线性方程组的证明题举例 309

第十三章 矩阵的特征值与特征向量 312

13-1 矩阵的特征值和特征向量 312

一、求矩阵的特征值和特征向量 312

二、矩阵的特征值和特征向量的逆问题的解法 313

三、矩阵的特征值和特征向量的证明题举例 315

13-2 正交矩阵及其证明题举例 317

一、相似矩阵的计算题和证明题举例 318

13-3 相似矩阵 318

二、判断一个矩阵是否与一对角矩阵相似 319

三、求相似变换矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵 320

四、求相似正交变换矩阵把实对称矩阵化为对角矩阵 320

第十四章 二次型 325

14-1 二次型及其标准形 325

一、二次型及其矩阵表示 325

二、化二次型为标准形 326

三、二次型标准形的逆问题解法 330

14-2 正定二次型和正定矩阵 332

一、判别二次型的正定性 332

二、正定二次型的逆问题解法 333

三、正定二次型和正定矩阵的证明题举例 334

四、正定二次型和正定矩阵的综合题举例 335

一、随机事件间的关系及其运算 339

15-1 随机事件和概率 339

第十五章 概率论 339

第三部分 概率论与数理统计初步 339

二、概率及其计算举例 341

15-2 随机变量及其分布 346

一、求随机变量的分布函数问题 346

二、利用分布函数、分布列或分布密度的性质求其中所含未知常数及有关事件的概率 347

三、二项分布、正态分布、指数分布的表达式在实际中的应用及其有关概率的计算问题 349

15-3 二维随机变量及其分布 352

一、由联合分布密度性质确定其中的未知常数，求(X，Y)取法落在某区域内的概率及边缘分布密度、分布函数 352

二、据已给的随机试验，求某二维离散型随机变量(X、Y)的概率分布及边缘分布 354

三、求条件分布，利用独立性计算概率 355

四、两个独立随机变量的简单函数的分布 356

15-4 随机变量的数字特征及极限定理概述 359

一、用定义、性质计算随机变量的数学期望与方差 359

二、求随机变量函数的数学期望、方差、相关系数等 361

三、用切比雪夫不等式、极限定理来估计随机事件的概率 362

一、几个基本术语 370

第十六章 数理统计初步 370

16-1 数理统计的基本概念 370

二、一些常用的抽样分布 371

三、概率分布的分位数 373

四、举例 374

一、点估计 377

二、区间估计 378

三、举例 380

16-3 假设检验 383

一、假设检验的基本思想 383

二、正态总体的均值假设检验 384

三、正态总体方差的假设检验 385

四、分布的假设检验 386

五、举例 386