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第一章 集合和函数 1

1.集合 1

2.函数 3

第二章 实数系 7

3.实数的代数公理 7

4.实数的序公理 9

5.上确界公理 10

6.正整数集 12

7.整数、有理数和指数 15

第三章 集合等价 19

8.定义和例子 19

9.可数集和不可数集 21

10.序列的极限 24

第四章 实数序列 24

11.子序列 28

12.极限的代数 30

13.有界序列 34

14.更进一步的极限定理 35

15.发散序列 36

16.单调序列和数 e 37

17.实指数 42

18.波尔察诺-维尔斯特拉斯定理 45

19.哥西条件 46

20.有界序列的上极限和下极限 47

21.无界序列的上极限和下极限 54

第五章 无穷级数 58

22.无穷级数的和 58

23.级数的代数运算 61

24.非负项级数 62

25.交错级数判别法 65

26.绝对收敛 67

27.幂级数 74

28.条件收敛 76

29.二重级数及其应用 79

第六章 实数直线上的实值函数和连续函数的极限 89

30.函数极限的定义 89

31.函数的极限定理 91

32.单边极限和无穷极限 93

33.连续性 94

34.海因-波雷尔定理和一个关于连续函数的推论 96

35.距离函数 100

第七章 距离空间 100

36.Rn,l2和哥西-许瓦尔兹不等式 103

37.距离空间中的序列 107

38.闭集 111

39.开集 114

40.距离空间上的连续函数 117

41.相对距离 121

42.紧距离空间 124

43.紧距离空间的波尔察诺-维尔斯特拉斯刻划 126

44.紧距离空间上的连续函数 130

45.连通的距离空间 132

46.完备距离空间 135

47.贝尔范畴定理 141

48.基本的定义和定理 145

第八章 实数直线上的微分学 145

49.中值定理和洛必大法则 149

50.泰勒定理 155

第九章 黎曼-斯蒂阶斯积分 159

51.关于递增积分子的黎曼-斯蒂阶斯积分 160

52.黎曼-斯蒂阶斯和 170

53.关于任意积分子的黎曼-斯蒂阶斯积分 175

54.有界变差函数 178

55.关于有界变差函数的黎曼-斯蒂阶斯积分 183

56.黎曼积分 188

57.零测集 192

58.黎曼积分存在的充分必要条件 196

59.广义黎曼-斯蒂阶斯积分 199

60.逐点收敛和一致收敛 205

第十章 函数的序列和级数 205

61.一致收敛序列的积分和微分 207

62.函数项级数 211

63.在幂级数中的应用 216

64.阿贝尔极限定理 220

65.可和性方法与陶伯定理 222

第十一章 超越函数 225

66.指数函数 225

67.自然对数函数 228

68.三角函数 230

第十二章 内积空间和傅里叶级数 236

69.赋范线性空间 236

70.内积空间 R3 239

71.内积空间 242

72.内积空间中的正交系 245

73.周期函数 248

74.傅里叶级数:定义和例子 250

75.内积空间中的标准正交展开 254

76.?〔a,a+2π〕中的傅里叶级数的逐点收敛性 259

77.傅里叶级数的塞萨罗可和性 264

78.?〔a,a+2π〕中的傅里叶级数 271

79.一个陶伯定理及其在傅里叶级数中的应用 278

第十三章 赋范线性空间和黎斯表示定理 282

80.赋范线性空间和连续线性变换 282

81.连续线性变换的赋范线性空间 285

82.赋范线性空间的对偶空间 288

83.黎斯表示定理的介绍 291

84.黎斯表示定理的证明 293

第十四章 勒贝格积分 299

85.广义实数直线 299

86.σ代数和正测度 300

87.可测函数 304

88.正测度空间上的积分 310

89.R 上的勒贝格测度 322

90.〔a,b〕上的勒贝格测度 332

91.希尔伯特空间 ?(X.?.?.) 336

附录:向量空间 343

参考文献 345

选题提示 347

中外人名对照 354

中英名词对照 355