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绪论 1

第1篇 条件独立性和两参数鞅 11

1 预备知识 13

1.1 常用记号 13

1.2 两参数随机过程的基本概念 15

1.3 单调类和复合函数定理 18

1.4 单参数马尔可夫链 20

1.5 条件独立性 25

2 两参数鞅 35

2.1 单参数鞅 35

2.2 各类两参数鞅 37

2.3 两参数鞅的轨道正则性 40

2.4 两参数逆鞅 48

第2篇 两参数马尔可夫过程的基本理论 53

3 各种两参数马尔可夫性 55

3.1 单点马氏性 55

3.2 宽过去马氏性 56

3.3 宽将来马氏性 58

3.4 i 马氏性 58

3.5 *马氏性 60

3.6 Levy 马氏性 60

3.7 等价关系 61

3.8 蕴含关系 64

3.9 反例 70

3.10 强芽马氏性 72

3.11 A 过程的马氏性 76

3.12 关系图 78

4.1 单点转移函数族 79

4 单点马尔可夫过程 79

4.2 单点马氏过程的单向转移 82

4.3 齐次情形和双向随机游动 83

5 宽过去马氏过程的一般理论 85

5.1 三点转移函数族的定义和例 85

5.2 规则的宽过去马氏过程 87

5.3 马氏初值的规则宽过去马氏过程 93

5.4 宽过去马氏过程的强马氏性 96

5.5 化为单参数情形 101

5.6 在梯形域上的预测 105

5.7 样本函数的有界性 108

5.8 样本函数的灯函数性和阶梯性 110

5.9 样本函数的连续性 114

5.10 样本函数在固定点的连续性 117

5.11 在马氏过程上生长马氏过程 120

第3篇 状态可列的两参数三点转移函数族 133

6 状态可列的三点转移函数族 135

6.1 基本概念 135

6.2 关系定理 137

6.3 可测性和远近极限 141

6.4 可测族的表现定理 145

6.5 近极限函数的性质 149

7 三点转移函数族的标准性和参数对称性 155

7.1 标准性和状态偶空间的分解 155

7.2 参数对称型的若干结果 158

7.3 在坐标轴上的扩充 167

7.4 偏导数的存在性和四个偏微分方程组 168

第4篇 几类重要的两参数马尔可夫过程 171

8.1 多参数随机游动的定义 173

8 两参数随机游动 173

8.2 RW2的各种两参数马氏性 176

8.3 RW2的单点和三点转移函数族 178

8.4 RW2的常返性 180

8.5 RW?的周期性 181

9 两参数独立增量过程：Levy单 189

9.1 Levy 单 189

9.2 Levy 单的表现和构造 190

9.3 Levy-Ito 轨道分解 196

9.4 Levy 单的样本函数 201

9.5 Levy 单的 Levy 马氏性 202

9.6 Levy 单的局部性质 206

9.7 广义 Levy 单及其相关随机过程 213

10.2 两参数平稳流 221

1O 两参数随机事件流 221

10.1 两参数流 221

10.3 两参数平稳无后效流 223

11 Poisson 单和广义 Poisson 单 230

11.1 广义 Poisson 单 230

11.2 广义 Poisson 单的基本性质 231

11.3 Poisson 单的等价定义 234

11.4 广义 Poisson 单的截口定理 237

11.5 广义 Poisson 单的各种马氏性 238

11.6 广义 Poisson 单不存在三点转移函数族 239

11.7 广义 Poisson 单的存在定理 241

11.8 广义 Poisson 单的第二存在定理 244

11.9 Poisson 单的鞅刻划 244

11.10 广义 Poisson 单的跳线与轨道 245

11.11 广义 Poisson 单样本函数的刻划 250

11.12 广义 Poisson 单在射线上的导出过程 252

12 Brown 单 253

12.1 白噪声与 Brown 单 253

12.2 Brown 单的导出过程 254

12.3 鞅性与0—1律 255

12.4 样本函数的连续性 256

12.5 强马尔可夫性和反射原理 260

12.6 奇点蔓延 263

12.7 Levy 马氏性 266

12.8 水平曲线 269

12.9 广义 Brown 单 271

13 两参数 Ornstein-Uhlenbeck 过程 272

13.1 定义 272

13.2 基本性质 273

13.3 各种马氏性 275

13.4 在射线上的导出过程 277

13.5 奇点蔓延 281

13.6 转移概率及预测 286

第5篇 马尔可夫型两参数随机微分方程 293

14 作为随机微分方程解的两参数马氏过程 295

14.1 马氏型两参数随机微分方程 295

14.2 记号和 Yeh 定理 295

14.3 马氏型方程的解 297

14.4 马氏型方程解的各种马氏性 302

14.5 较强条件下马氏型方程的解及其估计 307

14.6 较强条件下马氏型方程解的宽过去强马氏性 311

注释 315

参考文献 317

索引 337