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第1章 函数与极限 1

1.1知识要点 1

1.1.1映射与函数 1

1.1.2函数的基本特性 1

1.1.3反函数 2

1.1.4复合函数 3

1.1.5基本初等函数与初等函数 3

1.1.6极限的概念与性质 3

1.1.7无穷小与无穷大 4

1.1.8极限的运算法则 5

1.1.9极限存在准则与两个重要极限 5

1.1.10函数的连续性 6

1.1.11函数的间断点 6

1.1.12连续函数的性质 7

1.1.13闭区间上的连续函数的性质 7

1.1.14一些重要的结论 8

1.1.15一些常用的公式 8

1.2典型例题分析 9

1.2.1题型一、函数定义域的求解 9

1.2.2题型二、函数表达式的求解 10

1.2.3题型三、反函数的求解 11

1.2.4题型四、复合函数的求解 11

1.2.5题型五、函数的基本特性 12

1.2.6题型六、极限的概念与性质问题 14

1.2.7题型七、利用极限的四则运算法则求极限 15

1.2.8题型八、利用单侧极限的性质求极限 16

1.2.9题型九、利用两个重要极限求极限 17

1.2.10题型十、利用等价无穷小量替换求极限 17

1.2.11题型十一、利用极限存在准则求极限 18

1.2.12题型十二、函数的连续性问题 20

1.2.13题型十三、连续函数的等式证明问题 21

1.3深化训练 22

1.4深化训练详解 25

1.5综合提高训练 31

第2章 导数与微分 36

2.1知识要点 36

2.1.1导数的概念 36

2.1.2导数的几何意义与物理意义 36

2.1.3基本初等函数的导数公式 37

2.1.4导数的四则运算法则 37

2.1.5常用求导法则 37

2.1.6高阶导数 38

2.1.7微分的概念与性质 39

2.1.8微分在近似计算中的应用 40

2.2典型例题分析 41

2.2.1题型一、导数与微分的定义问题 41

2.2.2题型二、分段函数的求导问题 43

2.2.3题型三、导数的几何意义 44

2.2.4题型四、导函数的几何特性问题 45

2.2.5题型五、利用可导性求参数值（域） 46

2.2.6题型六、高阶导数问题 47

2.2.7题型七、反函数、复合函数的求导问题 48

2.2.8题型八、隐函数的求导问题 49

2.2.9题型九、导函数的连续性问题 50

2.2.10题型十、参数方程的求导问题 50

2.2.11题型十一、微分问题 51

2.3深化训练 52

2.4深化训练详解 54

2.5综合提高训练 59

第3章 中值定理与导数的应用 60

3.1知识要点 60

3.1.1中值定理 60

3.1.2洛必达法则 60

3.1.3函数的单调区间 61

3.1.4函数的极值 61

3.1.5函数的凹凸区间与拐点 61

3.1.6曲线的渐近线 61

3.1.7函数作图 62

3.1.8曲率、曲率圆与曲率半径 62

3.1.9一些常用的麦克劳林公式 62

3.2典型例题分析 63

3.2.1题型一、利用中值定理证明等式问题 63

3.2.2题型二、利用中值定理证明不等式问题 65

3.2.3题型三、洛必达法则的应用 65

3.2.4题型四、函数的凹凸性与拐点问题 67

3.2.5题型五、显式不等式的证明问题 69

3.2.6题型六、函数的零点（方程的根）问题 71

3.2.7题型七、渐近线问题 71

3.2.8题型八、泰勒公式的应用问题 73

3.2.9题型九、曲率问题 74

3.3深化训练 75

3.4深化训练详解 77

3.5综合提高训练 85

第4章 不定积分 89

4.1知识要点 89

4.1.1不定积分的定义与性质 89

4.1.2换元积分法 89

4.1.3分部积分法 90

4.1.4有理函数积分法 90

4.1.5三角函数有理式的积分法 90

4.1.6简单无理函数的积分法 91

4.1.7常用积分公式表 91

4.2典型例题分析 92

4.2.1题型一、不定积分的概念与性质问题 92

4.2.2题型二、利用换元积分法求解不定积分 92

4.2.3题型三、利用分部积分法求解不定积分 94

4.2.4题型四、利用等式∫ udv＋ ∫ vdu =uv＋C求解不定积分 96

4.2.5题型五、求解有理函数的不定积分 96

4.2.6题型六、求解三角函数有理式的不定积分 97

4.2.7题型七、简单无理函数的不定积分 98

4.2.8题型八、递推公式问题 99

4.2.9题型九、分段函数的积分问题 100

4.3深化训练 101

4.4深化训练详解 103

4.5综合提高训练 108

第5章 定积分及其应用 112

5.1知识要点 112

5.1.1定积分的定义 112

5.1.2定积分的几何意义与物理意义 112

5.1.3定积分的性质 113

5.1.4积分上限的函数及其导数 114

5.1.5定积分的计算 114

5.1.6反常积分（或广义积分） 114

5.1.7几个重要的结论 115

5.1.8定积分的应用 116

5.2典型例题分析 120

5.2.1题型一、有关定积分概念与性质的问题 120

5.2.2题型二、利用换元法和分部积分法求解积分 122

5.2.3题型三、带有技巧性的定积分计算问题 125

5.2.4题型四、积分上限的函数及其导数问题 127

5.2.5题型五、积分等式问题 129

5.2.6题型六、积分不等式问题 131

5.2.7题型七、广义积分问题 133

5.2.8题型八、定积分的应用问题 135

5.3深化训练 137

5.4深化训练详解 142

5.5综合提高训练 151

第6章 微分方程 158

6.1知识要点 158

6.1.1一阶微分方程及解法 158

6.1.2可降阶的高阶微分方程及解法 159

6.1.3二阶线性微分方程 160

6.1.4高阶线性微分方程 161

6.1.5欧拉方程 161

6.2典型例题分析 162

6.2.1题型一、一阶微分方程的求解 162

6.2.2题型二、高阶微分方程的求解 164

6.2.3题型三、利用通解性质求解相关问题 167

6.2.4题型四、微分方程的应用 169

6.3深化训练 171

6.4深化训练详解 173

6.5综合提高训练 182

第7章 空间解析几何与向量代数 186

7.1知识要点 186

7.1.1向量的概念及线性运算 186

7.1.2曲面及其方程 187

7.1.3空间曲线及其方程 188

7.1.4平面及其方程 188

7.1.5直线及其表示 189

7.2典型例题分析 191

7.2.1题型一、向量的运算 191

7.2.2题型二、空间曲线与曲面的求解问题 192

7.2.3题型三、平面方程的求解问题 192

7.2.4题型四、直线方程的相关问题 193

7.2.5题型五、直线与平面的关系问题 197

7.3深化训练 198

7.4深化训练详解 201

7.5综合提高训练 205

第8章 多元函数微分法及应用 208

8.1知识要点 208

8.1.1二元函数的定义 208

8.1.2二元函数的极限与连续 208

8.1.3偏导数 209

8.1.4全微分 210

8.1.5多元函数的求导法则 211

8.1.6二元函数的极值 212

8.1.7多元函数微分学的几何应用 213

8.1.8方向导数与梯度 214

8.2典型例题分析 214

8.2.1题型一、多元函数的概念问题 214

8.2.2题型二、多元函数的极限与连续问题 215

8.2.3题型三、求解多元函数的偏导数与全微分 216

8.2.4题型四、多元函数的极值与最值问题 218

8.2.5题型五、多元函数微分学的几何应用 219

8.2.6题型六、方向导数与梯度 221

8.3深化训练 222

8.4深化训练详解 226

8.5综合提高训练 234

第9章 重积分 239

9.1知识要点 239

9.1.1二重积分的概念与性质 239

9.1.2利用直角坐标系计算二重积分 240

9.1.3利用极坐标计算二重积分 241

9.1.4利用对称性求解二重积分 241

9.1.5三重积分的概念 242

9.1.6利用直角坐标计算三重积分 242

9.1.7利用柱面坐标计算三重积分 243

9.1.8利用球面坐标计算三重积分 243

9.1.9重积分的应用 244

9.2典型例题分析 245

9.2.1题型一、重积分的概念问题 245

9.2.2题型二、利用直角坐标系计算二重积分 246

9.2.3题型三、利用极坐标计算二重积分 248

9.2.4题型四、利用直角坐标系计算三重积分 250

9.2.5题型五、利用柱面坐标计算三重积分 250

9.2.6题型六、利用球面坐标计算三重积分 251

9.2.7题型七、重积分的应用 251

9.3深化训练 252

9.4深化训练详解 255

9.5综合提高训练 259

第10章 曲线积分与曲面积分 265

10.1知识要点 265

10.1.1第一类曲线积分的概念及计算 265

10.1.2第二类曲线积分的概念及计算 266

10.1.3格林公式及其应用 267

10.1.4第一类曲面积分的概念与计算 268

10.1.5第二类曲面积分的概念与计算 269

10.1.6高斯公式与斯托克斯公式 271

10.2典型例题分析 272

10.2.1题型一、求解第一类曲线积分 272

10.2.2题型二、求解第二类曲线积分 274

10.2.3题型三、格林公式的应用 276

10.2.4题型四、求解第一类曲面积分 279

10.2.5题型五、求解第二类曲面积分 281

10.2.6题型六、高斯公式、斯托可斯公式的应用 283

10.2.7题型七、曲线、曲面积分的实际应用 286

10.3深化训练 287

10.4深化训练详解 290

10.5综合提高训练 297

第11章 无穷级数 303

11.1知识要点 303

11.1.1无穷级数的概念 303

11.1.2无穷级数的性质 303

11.1.3常见级数的敛散性 304

11.1.4正项级数敛散性的判别法 304

11.1.5任意项级数的敛散性 305

11.1.6函数项级数的概念 305

11.1.7幂级数的概念 306

11.1.8幂级数的和函数的性质 306

11.1.9函数的幂级数展开 307

11.1.10常见的麦克劳林公式 307

11.1.11傅里叶级数 307

11.2典型例题分析 308

11.2.1题型一、利用定义与性质判断级数的敛散性 308

11.2.2题型二、判断正项级数的敛散性 309

11.2.3题型三、判断任意项级数的敛散性 310

11.2.4题型四、函数项级数收敛域的求解 311

11.2.5题型五、讨论幂级数的收敛半径及收敛域 311

11.2.6题型六、求幂级数的和函数 312

11.2.7题型七、函数展开成幂级数问题 314

11.2.8题型八、傅里叶级数问题 315

11.2.9题型九、无穷级数的应用问题 316

11.3深化训练 316

11.4深化训练详解 318

11.5综合提高训练 323

2013年考研数学一高等数学考题 329

2014年考研数学一高等数学考题 335

2015年考研数学一高等数学考题 340

2016年考研数学一高等数学考题 345

2017年考研数学一高等数学考题 350

参考文献 354