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大学数学教程第一册 1

目录 1

1．分析基础 1

1.1实数集函数 1

1．集合 1

2．实数集 2

3．数集的界与确界 3

4．逻辑符号 4

5．常用的等式与不等式 6

6．映射函数数列 8

1.1习题 13

1.2极限的概念 15

1．数列的极限 15

2．函数的极限 20

3．左极限右极限 25

4．数列极限与函数极限的关系 27

1.2习题 29

1.3极限的性质和运算法则 30

1．存在有限极限的函数之局部性质 31

2．极限的四则运算 34

3．无穷小量及其性质 36

4．复合函数的极限 37

1.3习题 41

1.4极限的存在准则 44

1．实数系的连续性 44

2．确界定理单调有界定理 45

3．两个重要极限 48

1.4习题 53

1.5连续 54

1．连续与间断 54

2．连续函数的局部性质与运算法则 57

3．严格单调连续函数的反函数的连续性 58

4．初等函数的连续性 60

5．闭区间上连续函数的性质 63

1.5习题 68

1.6无穷小量的阶不定型的极限 70

1．无穷小（大）量的比较 70

2．无穷小量的阶 73

3．不定型的极限 76

1.6习题 80

2．一元函数的微分学 82

2.1导数与微分的概念 82

1．引出导数的例子 82

2．导数的概念 83

3．微分的概念 88

2.1习题 90

1．导数与微分的四则运算 91

2.2导数与微分的计算 91

2．复合函数的导数 93

3．反函数的导数 96

4．导数基本公式 98

2.2习题 102

2.3高阶导数与高价微分 103

1．高阶导数 103

2．高阶微分 106

2.3习题 107

2.4微分中值定理 108

1．两个引理 108

2．中值定理 110

2.4习题 113

2.5罗必达法则 114

1．求“？”型不定型极限的法则 114

2．求“？”型不定型极限的法则 117

3．求其他五种不定型极限 118

2.5习题 119

2.6泰勒公式 120

1．泰勒公式 120

2．基本初等函数的麦克劳林公式 122

3．利用有限展开式求不定型极限 125

2.6习题 127

2.7利用导数研究函数的性质 127

1．函数的增减性 127

2．函数的极值 129

3．最大值与最小值 131

4．函数的凸性 133

2.7习题 136

2.8利用导数作函数的图形 137

1．曲线的渐近线 137

2．作函数的图形 139

2.8习题 143

2.9参数方程所确定的函数的导数 144

1．平面曲线的参数方程 144

2．参数方程所确定的函数的导数及作图例 150

2.9习题 153

2.10方程的近似解 154

2.10习题*156。 154

3．一元函数的积分学 157

3.1定积分的概念可积函数 157

1．引出定积分的两个例子 157

2．定积分的定义 159

3．函数的R可积性 161

3.1习题 166

3.2定积分的性质 166

3.2习题 171

2．变上限的积分 172

3.3原函数与不定积分 172

1．原函数 172

3．不定积分 174

4．牛顿-莱布尼兹公式 175

5．基本积分公式 175

3.3习题 179

3.4换元积分法 181

1．不定积分的凑微分法 182

2．不定积分的变量变换法 185

3．定积分的情况 187

3.4习题 189

3.5分部积分法杂例 191

1．分部积分法 191

2．杂例 195

1．有理函数的积分 199

3.6有理函数与三角函数有理式的积分 199

3.5习题 199

2．三角函数有理式的积分 203

3.6习题 207

3.7简单无理函数的积分及其他 208

1．？dx型积分（ad－bc≠0） 208

2．？dx型积分 209

3．？dx型积分（b2－4ac≠0） 209

4．其他 211

3.7习题 212

3.8定积分的近似计算 213

1．梯形公式 213

2．辛普生公式（抛物线公式） 214

3.8习题 216

3.9定积分在几何上的应用 217

1．平面图形的面积 217

2．已知横截面面积的立体体积 221

3．平面曲线的弧长与弧微分 224

4．旋转面的面积 230

5．平面曲线的曲率 233

3.9习题 235

3.10定积分在物理上的应用 236

1．质心坐标 236

2．变力作功 240

3．水压力 242

3.10习题 244

4．空间解析几何向量 245

4.1向量直角坐标 245

1．向量的概念 245

2．向量的线性运算 246

3．向量在数轴上的投影 249

4．空间直角坐标系 250

4.1习题 256

4.2向量的数量积向量积混合积 257

1．数量积 257

2．向量积 261

3．混合积 265

4.2习题 267

4.3平面 268

1．平面方程 268

2．特殊位置的平面方程 270

3．点到平面的距离 271

4．平面的相互位置 272

4.3习题 274

4.4直线 275

1．直线的方程 275

2．直线与平面的关系 278

3．直线间的关系 280

4．距离 281

5．有轴平面束 283

4.4习题 285

4.5几种常见的曲面 287

1．曲面、曲线的方程 287

2．柱面方程 290

3．旋转面 292

4．锥面 294

5．直角坐标变换常用二次曲面的图形 296

4.5习题 305

4.6向量函数与空间曲线的参数方程 306

1．空间曲线的参数方程 306

2．向量函数的导数 307

3．向量函数导数的物理意义与几何意义 310

4．空间曲线论的基本公式 313

4.6习题 319

5．矩阵行列式线性代数方程组 320

5.1矩阵及其运称 320

1．矩阵的概念 320

2．矩阵的线性运算 323

3．矩阵的乘法 324

4．转置矩阵 330

5.1习题 332

5.2矩阵的分块 333

5.2习题 340

5.3逆阵与初等变换 341

1．逆阵 341

2．初等变换与初等阵 344

3．矩阵可逆的充要条件 351

4．用初等变换求逆阵 352

5.3习题 354

1．n阶行列式 356

5.4行列式及其性质 356

2行列式的性质 362

5.4习题 366

5.5行列式按行（列）展开 368

1．行列式按一行（列）展开 368

2．拉普拉斯展开定理 375

5.5习题 377

5.6用行列式求逆阵克莱姆法则 380

1．用行列式求逆阵 380

2．克莱姆法则 382

5.6习题 386

5.7向量组的线性无关 387

1．n维向量 387

2．线性相关与线性无关 388

3．等价向量组 393

4．向量组的极大无关组与秩 396

5.7习题 398

5.8矩阵的秩 399

1．矩阵的行秩、列秩与秩 399

2．秩的求法 402

5.8习题 408

5.9线性代数方程组 409

1．高斯消元法 409

2．线性代数方程组解的结构 413

5.9习题 421

6．多元函数的微分学 424

6.1多元函数极限连继 424

1．n维欧几里得空间 424

2．Rn→Rm的映射 428

3．多元函数的极限 430

4．多元函数的连续性 437

6.1习题 439

6.2偏导数全微分 441

1．偏导数 441

2．全微分 444

3．复合函数微分法 449

4．曲面的切平面与法线 452

6.2习题 454

6.3高阶偏导数泰勒公式 455

1．高阶偏导数 455

2．高阶微分 459

3．泰勒公式 461

6.3习题 464

6.4隐函数及其微分法 464

1．由一个方程确定的隐函数 464

2．由方程组所确定的隐函数（向量值隐函数） 468

3．空间曲线的切线与法平面 474

6.4习题 476

6.5向量值函数的微分法函数的相关性 477

1．向量值函数的微分法 477

2．函数的相关性 482

6.5习题 484

6.6二元函数的极值 484

1．二元函数的极值 484

2．条件极值——拉格朗日乘数法 489

3．最大值与最小值 493

4．最小二乘法 494

6.6习题 498

6.7曲面的参数方程 499

1．曲面的参数方程 499

2．切平面 502

3．曲面的第一、第二基本形式 504

6.7习题 507

习题答案 509