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第一章 矢量 1

1.1 引言 1

1.2 矢量表示法 1

1.3 矢量的分类 2

1.4 矢量的加法 4

1.6 矢量的乘法 6

1.7 矢量空间或线性空间 8

1.8 用矢量表示物理量的条件 10

1.9 矢量的分解 11

1.10 矢量的线性组合 26

1.11 两个矢量的积 31

1.12 矢量的三重积 45

1.13 四个矢量的积 60

1.14 矢量的的倒易系统 63

1.15 矢量方程 64

1.16 矢量对于力学的简单应用 67

1.17 矢量的微分法 76

1.18 微分的若干法则 78

1.19 矢量的偏微分法 94

1.20 矢量的偏微分法则 97

1.21 数量场和矢量场 102

1.22 方向导数 104

1.23 等值面 107

1.24 数量场的梯度 107

1.25 数性点函数的梯度 109

1.26 两个数性点函数之和的梯度 110

1.27 两个数性点函数之积的梯度 111

1.28 矢性点函数的散度 116

1.29 两个矢函数的散度 118

1.30 乘积的散度 119

1.31 矢性点函数的旋度 128

1.32 两个矢性点函数之和的旋度 129

1.33 两个矢性点函数之积的旋度 131

1.34 用旋度表示数积的梯度 134

1.35 用旋度表示矢积的散度 134

1.36 曲线坐标 158

1.37 正交曲线坐标 159

1.38 正交条件 161

1.39 两相互正交矢量三元组的倒易集 163

1.40 用正交坐标系表示的梯度 165

1.41 用正交坐标系表示的散度 166

1.42 用正交坐标系表示的旋度 168

1.43 用正交坐标系表示的拉普拉斯算子(▽2) 170

1.44 ▽φ，▽·→F 和 ▽×→F 的直角坐标等价表达式 170

1.45 圆柱坐标(特殊的曲线坐标) 171

1.46 球极坐标(特殊的曲线坐标) 173

1.47 矢量的积分法 179

1.48 线积分 185

1.49 面积分 194

1.50 体积分 208

1.51 高斯散度定理 214

1.52 高斯定理的推论 216

1.53 高斯散度定理的物理解释 218

1.54 高斯定理 219

1.55 两个格林恒等式 221

1.56 平面上的格林定理 230

1.57 平面上格林定理矢量形式 232

1.58 格林公式 235

1.59 泊松方程与它的解 237

1.60 拉普拉斯方程与它的解 238

1.61 空间里的斯托克斯定理 242

1.62 若干定理 255

1.63 矢量场的分类 259

附加杂题 260

第二章 矩阵 275

2.1 定义和记法 275

2.2 矩阵的相等 278

2.3 矩阵的加法 280

2.4 矩阵加法的性质 285

2.5 矩阵的乘法 291

2.6 矩阵乘法的性质 293

2.7 矩阵分块 302

2.8 矩阵与分块的乘积 304

2.9 特殊矩阵 307

2.10 矩阵的秩 374

2.11 关于秩的若干定理 376

2.12 线性方程的解 392

2.13 克莱姆法则 400

2.14 特征矩阵和矩阵的特征方程 412

2.15 子空间和零空间 417

2.16 变换 422

2.17 埃尔米特形式 427

2.18 矩阵的特征根和特征矢量(本征值和本征矢量) 428

2.19 二次形式和它们的简化 452

2.20 矩阵的微分法和积分法 462

2.21 利用矩阵微分法解线性微分方程组 464

附加杂题 467

第三章 张量 473

3.1 引言 473

3.2 坐标变换 477

3.3 求和约定与克罗内克符号 477

3.4 按变换定律分类的张量 478

3.5 对称张量和反对称张量 485

3.6 不变张量 491

3.7 控制张量分析的法则 500

3.8 基本张量 511

3.9 相伴张量：添标的上升和下降 518

3.10 矢量(即—秩张量)的长度、两矢量之间的夹角和矢量的正交性 522

3.11 度量张量、黎曼空间 523

3.12 克里斯托弗尔三指标符号 525

3.13 测地线方程 530

3.14 克里斯托弗尔符号的变换定律 533

3.15 矢量的平行位移 538

3.16 矢量的共变导数 540

3.17 张量的共变导数 543

3.18 曲率张量(黎曼—克里斯托弗尔张量) 550

3.19 黎曼—克里斯托弗尔张量或共变曲率张量 552

3.20 某些重要结果 558

3.21 算子的张量形式 560

附加杂题 561