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第一章 预备知识 1

1 实数集 1

1.1 集合 1

1.2 集合的运算 2

1.3 实数集 3

1.4 区间与邻域 4

1.5 实数的完备性与确界公理 6

2 函数 7

2.1 常量与变量 7

2.2 映射与函数的概念 7

2.3 函数的几种特性 11

2.4 反函数与复合函数 15

2.5 初等函数 16

3 常用逻辑符号简介 21

3.1 蕴涵与等价 21

3.2 全称量词与存在量词 21

习题1 22

第二章 极限与连续函数 24

1 数列的极限 24

1.1 数列的概念 24

1.2 数列的变化趋势与数列极限的概念 25

1.3 收敛数列的性质 29

1.4 数列极限的四则运算 31

1.5 数列收敛的判别法 33

习题2.1 38

2 函数的极限 39

2.1 函数极限的概念 39

2.2 函数极限的性质及运算法则 44

2.3 函数极限存在的判别法 47

习题2.2 51

3 无穷小与无穷大 52

3.1 无穷小及其性质 52

3.2 无穷小的比较 54

3.3 无穷大 56

习题2.3 58

4 连续函数 59

4.1 函数的增量 59

4.2 函数的连续性 60

4.3 函数的间断点及其分类 63

习题2.4 65

5 连续函数的运算与初等函数的连续性 66

5.1 连续函数的和、差、积、商的连续性 66

5.2 反函数的连续性 67

5.3 复合函数的连续性 67

5.4 初等函数的连续性 69

习题2.5 70

6 闭区间上连续函数的性质 71

6.1 最值定理与有界性定理 71

6.2 介值定理 72

6.3 函数的一致连续性 74

习题2.6 75

第三章 导数与微分 76

1 导数的概念 76

1.1 引例 76

1.2 导数的概念 77

1.3 函数可导与连续的关系 82

习题3.1 83

2 求导法则 84

2.1 函数四则运算的求导法则 84

2.2 反函数的求导法则 88

2.3 复合函数的求导法则 89

2.4 初等函数的导数 92

习题3.2 93

3 高阶导数 95

3.1 高阶导数的概念 95

3.2 Leibniz公式 100

习题3.3 101

4 隐函数及由参数方程所确定的函数的求导法则 102

4.1 隐函数的求导法则 102

4.2 对数求导法 105

4.3 由参数方程所确定的函数的求导法则 107

习题3.4 109

5 微分 110

5.1 微分的概念 110

5.2 微分的几何意义 113

5.3 微分的运算法则 113

5.4 高阶微分 115

5.5 微分的应用 116

习题3.5 118

第四章 微分中值定理与导数的应用 120

1 微分中值定理 120

1.1 Rolle定理 120

1.2 Lagrange中值定理 122

1.3 Cauchy中值定理 128

习题4.1 130

2 L'Hospital法则 132

2.1 未定式的概念 132

2.2 未定式的定值法 133

习题4.2 141

3 Taylor公式 142

3.1 Taylor多项式 142

3.2 Taylor公式 143

3.3 Maclaurin公式 147

3.4 Taylor公式的应用 149

习题4.3 152

4 函数单调性的判别法 152

习题4.4 155

5 函数的极值与最值 156

5.1 函数的极值及其求法 156

5.2 最值问题 159

习题4.5 163

6 函数的凸性与曲线的拐点 165

6.1 凸函数的概念及其判别法 165

6.2 曲线的拐点及其求法 167

6.3 函数图形的描绘 169

习题4.6 174

7 弧微分与平面曲线的曲率 175

7.1 弧微分 175

7.2 平面曲线的曲率 177

7.3 曲率圆与曲率半径 180

习题4.7 182

第五章 不定积分 183

1 不定积分的概念与性质 183

1.1 原函数与不定积分 183

1.2 基本积分公式 186

1.3 不定积分的性质 187

习题5.1 188

2 不定积分的换元积分法 189

2.1 第一换元法 189

2.2 第二换元法 194

习题5.2 198

3 不定积分的分部积分法 199

习题5.3 203

4 几种典型函数的积分举例 203

4.1 有理函数的积分 203

4.2 三角函数有理式的积分 209

4.3 无理函数积分举例 210

习题5.4 212

第六章 定积分 213

1 定积分的概念与性质 213

1.1 定积分问题的引例 213

1.2 定积分的概念 215

1.3 定积分的几何意义 217

1.4 定积分的性质 217

习题6.1 220

2 微积分基本定理 221

2.1 积分上限函数及其导数 221

2.2 Newton-Leibniz公式 223

习题6.2 226

3 定积分的换元法和分部积分法 226

3.1 定积分的换元积分法 227

3.2 定积分的分部积分 229

习题6.3 232

4 定积分的应用 232

4.1 微元法 233

4.2 平面面图形的面积 234

4.3 体积 238

4.4 平面曲线的弧长 240

4.5 定积分在物理上的应用 243

习题6.4 247

5 反常积分 248

5.1 无穷积分 248

5.2 无界函数积分 256

习题6.5 260

第七章 空间解析几何 263

1 空间直角坐标系 263

1.1 空间点的直角坐标 263

1.2 空间两点间的距离 264

习题7.1 265

2 向量及其运算 266

2.1 向量的概念 266

2.2 向量的加减法，向量与数的乘法 266

2.3 向量的坐标 269

2.4 向量的方向余弦 271

2.5 向量的乘积运算 273

习题7.2 279

3 平面及其方程 280

3.1 平面的方程 281

3.2 两平面的夹角 284

3.3 点到平面的距离 285

习题7.3 286

4 空间直线及其方程 287

4.1 空间直线的方程 287

4.2 点、直线、平面之间的关系 290

4.3 过直线的平面束方程 293

习题7.4 294

5 曲面及其方程 296

5.1 曲面方程 296

5.2 柱面 296

5.3 旋转曲面 297

5.4 曲面的参数方程 299

习题7.5 300

6 曲线及其方程 300

6.1 曲线方程 300

6.2 空间曲线在坐标面上的投影 302

习题7.6 304

7 常见的二次曲面 305

7.1 椭球面 305

7.2 二次锥面 307

7.3 双曲面 308

7.4 抛物面 311

习题7.7 313

习题参考答案 314

参考文献 348