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第1章　单变量正交多项式ODE定义与B-网表示 1

1.1 最简单的常微分方程本征问题 1

1.2　单变量单参数正交多项式 5

1.2.1 幂函数表示 5

1.2.2　三项递推公式 7

1.2.3 Gegenbauer多项式 10

1.3 一维有界区间上正交多项式的B-网表示 12

1.3.1 单变量多项式的Bernstein基及B-B多项式 12

1.3.2 Chebyshev多项式的B-网表示 15

1.3.3 Gegenbauer多项式的B-网表示 17

1.4　单变量Jacobi正交多项式及其B-网表示 22

1.4.1 双参数常微分方程本征问题及B-网表示 22

1.4.2 经典Jacobi多项式及其B-网表示 24

1.5　生成双变量正交多项式的Koornwinder方法 26

第2章　三向齐次坐标下的Fourier变换与广义三角函数变换 28

2.1 平面三向齐次坐标与函数表示 29

2.1.1 三向齐次坐标的定义与性质 29

2.1.2 三向坐标下函数的周期性与对称性 31

2.1.3 常用偏微分算子的三向坐标表示 34

2.1.4 三向网格与差分格式 34

2.2 三向坐标下的Fourier函数系及其性质 36

2.2.1 二元Fourier函数系及其基本性质 36

2.2.2 二阶与三阶偏微分本征方程 38

2.2.3 二元Fourier级数的逼近性质 43

2.3　平行六边形离散内积与Fourier插值 47

2.4　三向坐标下广义正弦函数与余弦函数及其性质 49

2.4.1 广义三角函数定义与正交性 49

2.4.2 广义三角函数的主要性质 51

2.4.3 广义余弦函数的极值性质 57

2.5　二元广义三角函数在重心坐标下的实表示 60

2.5.1 三角区域广义实正弦函数的构造与性质 60

2.5.2 三角区域广义实余弦函数的构造与性质 68

第3章　平行六边形区域快速离散Fourier变换算法 76

3.1 平行六边形区域快速离散Fourier变换基础 77

3.1.1 平行六边形区域离散Fourier变换 77

3.1.2 快速算法推导：N=2p 78

3.1.3 快速算法推导：一般情形 83

3.2　算法复杂度分析 86

3.3　平行六边形域快速算法的实现技术 90

3.3.1 数据结构 90

3.3.2 HFFT算法 91

3.3.3 多色排序算法与快速乘法 93

3.4　数值计算实例 95

第4章　三角域DCT,DST及其快速算法 97

4.1 三角区域的离散广义正弦变换 97

4.1.1 三角采样网格 97

4.1.2 正变换与反变换 98

4.1.3 三角区域的快速广义正弦变换 100

4.2　三角区域的离散广义余弦变换 105

4.2.1 正变换与反变换 105

4.2.2 三角区域的快速离散余弦变换 107

4.3　数值实验 111

4.3.1 直接法与快速算法效率比较 111

4.3.2 应用实例 112

4.4　基于Matlab的HFFT算法库 115

第5章　三角域正交多项式PDE定义与B-网表示 119

5.1 一类复变量正交多项式的PDE定义 119

5.2　正三角形上复Legendre型多项式 122

5.3　三角域上带参数的正交多项式 129

5.3.1 单参数复正交多项式的幂函数表示与递推公式 129

5.3.2 三参数Jacobi型复本征多项式 133

5.3.3 等腰直角三角域上的Appell多项式 135

5.4　三角域复本征多项式B-网表示 138

5.4.1 二元多项式Bernstein基及三角域B-B多项式 138

5.4.2 三角域复本征多项式B-网表示 144

5.4.3 B-网系数满足的偏差分方程 157

第6章　广义曲边三角形区域族上的正交多项式 162

6.1 单位圆域上正交多项式的偏微分方程定义 163

6.2 内摆线域上的正交多项式 169

6.2.1 Steiner内摆线域 169

6.2.2 三向坐标与z-坐标之间映射的Jacobi 170

6.2.3 正交多项式的二阶偏微分本征方程定义 172

6.2.4 正交多项式的三层四项递推公式 174

6.2.5 Jacobi型首一正交多项式幂级数表示 177

6.3 内摆线域Chebyshev多项式通式 181

6.3.1 二元若干低阶Chebyshev多项式 181

6.3.2 二元第一类Chebyshev多项式幂级数通式 181

6.3.3 二元第二类Chebyshev多项式幂级数通式 186

6.4 内摆线域Chebyshev多项式的特性 189

6.4.1 Chebyshev多项式与广义三角函数之间的内在联系 189

6.4.2 Chebyshev多项式最小零偏差性质 190

6.4.3 Chebyshev多项式零点与Gaussian积分公式 197

6.5　二元正交多项式与一阶偏微分-差分方程 200

6.5.1 第一类Chebyshev多项式 200

6.5.2 一般单参数首一正交多项式情况 202

6.6　二元正交多项式与三阶偏微分本征方程 203

6.7 广义曲边三角形区域族上的正交多项式 206

第7章　平行六边形上的正交分解与分片多项式 211

7.1 平行六边形函数空间的两类正交分解 211

7.2 正六边形域Laplace零边值本征函数的正交近似解 213

7.2.1 最小本征值及其本征函数的近似 214

7.2.2 若干低频本征函数的近似表示 216

7.2.3 本征值下界计算 219

7.3　平行六边形上的正交多项式 221

7.4　平行六边形上的样条函数与插值 224

7.4.1 三向平行四边形剖分上的双线性B-样条 226

7.4.2 分片双二次函数空间插值 233

7.5　平行六边形有限元的构造 241

7.5.1 基于边的三线性六边形元 246

7.5.2 基于顶点的旋转三线性六边形元 247

第8章　四面体域上的正交多项式与B-网表示 249

8.1 等腰四面体域上正交多项式的PDE定义 249

8.2 四面体上复正交多项式 254

8.2.1 四面体上Legendre型复多项式 254

8.2.2 四面体上Jacobi型复多项式 257

8.3 笛卡儿坐标下三维标准单纯形域上的正交多项式 259

8.4 四面体域复正交多项式的Bernstein形式 261

8.4.1 三元多项式Bernstein基及四面体域B-B多项式 261

8.4.2 三元Legendre型复多项式的Bernstein形式 264

8.4.3 三元Jacobi型复多项式的Bernstein形式 275

第9章　曲四面体域上的正交多项式与三层递推公式 280

9.1 曲边四面内摆体域 280

9.2 曲边四面内摆体域上的正交多项式 285

9.2.1 三维偏微分本征方程定义与三层递推公式 285

9.2.2　推导与证明 296

9.3 三变量Chebyshev及Legendre型多项式 307

9.3.1 第一类Chebyshev型多项式 308

9.3.2 第二类Chebyshev型多项式 311

9.3.3 Legendre型首一多项式 314

9.4　Chebyshev多项式满足的一阶偏微分差分方程 316

9.5 曲四面体域族Ωμ,ν上的正交多项式 319

9.5.1 曲四面体域族Ωμ,ν 319

9.5.2 Ωμ,ν上正交多项式的偏微分方程定义 319

第10章　四面体与平行十二面体上的Fourier变换 325

10.1　三维四向剖分与六向坐标 325

10.2　三维基本Fourier函数系 329

10.3　从三维单纯形到曲单纯形的映射 331

10.4　广义三维正弦函数与余弦函数 340

10.5　菱形十二面体上的一类B-样条 345

第11章　非传统区域快速Fourier变换及并行算法 348

11.1　三维四方向十二面体的几何性质 349

11.1.1　三维四方向十二面体定义 349

11.1.2　Tiling 351

11.1.3　N剖分和四面体剖分 353

11.1.4　对偶 354

11.1.5　菱形十二面体 355

11.2　平行十二面体区域上的广义离散傅立叶变换 357

11.3　HFFT算法 358

11.4　算法实现 361

11.4.1　数据结构 361

11.4.2　数据排列 361

11.4.3　HFFT算法 362

11.5　数值计算与应用实例 363

11.6　二维与三维快速Fourier变换的并行算法 368

11.6.1　数据结构 368

11.6.2　并行算法 371

11.6.3　算法实现 376

11.7　数值试验与结果分析 378

第12章　多向Fourier积分与B-样条的B-网表示 382

12.1　二元三方向剖分上B-样条的B-网表示 382

12.1.1　单变量B-样条的B-网表示 382

12.1.2　二元S1 3与S1 4空间B-样条的B-网表示 384

12.2　三元四方向剖分下S1 4空间B-样条的B-网表示 393

12.2.1　三维S1 4中B-样条的分片多项式表示 396

12.2.2　三维S1 4在六个二维三方向平面上的投影 401

12.3　三向坐标下的Fourier积分变换与B-样条 402

12.4　三维四向齐次坐标下的Fourier积分变换与B-样条 408

第13章　高维超单纯形域Fourier变换及快速变换 418

13.1　超单纯形定义与Tiling性质 418

13.2　超单纯形基本域Fourier函数系 423

13.2.1　Fourier函数定义与基本性质 423

13.2.2　Fourier函数递推公式 426

13.2.3　广义Fourier级数 430

13.3　高维离散Fourier变换 431

13.4　高维快速离散Fourier变换 432

第14章　高维单纯形域广义三角函数 436

14.1　d维空间中的广义正弦函数与广义余弦函数 436

14.2　广义三角函数某些性质 441

14.3　广义三角变换及其快速变换 451

第15章　高维单纯形域复正交多项式及其Bernstein形式 453

15.1　高维单纯形域上的特征矩阵与z-坐标 453

15.1.1　笛卡儿坐标下标准单纯形域及其特征矩阵 453

15.1.2　高维单纯形域与z-坐标 455

15.1.3　标准单纯形特征矩阵在z-坐标下的表示 458

15.2　高维单纯形域Jacobi型复多项式 463

15.3　高维复正交多项式的Bernstein表示 466

15.3.1　高维Bernstein基的积分性质 466

15.3.2　Bernstein多项式升维延拓的定义与性质 469

15.3.3　高维Jacobi型复多项式的Bernstein形式 471

第16章　高维曲单纯形域上正交多项式 475

16.1　高维曲单纯形的特征矩阵与z-坐标 475

16.1.1　曲单纯形域的定义与特征矩阵 475

16.1.2　推导与证明 487

16.2　高维曲单纯形域上单参数正交多项式 496

16.2.1　高维曲单纯形域上的本征值问题 496

16.2.2　Chebyshev多项式与三层递推公式 503

16.2.3　例：四维曲边单纯形域上的正交多项式 507

参考文献 513

索引 518