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第1章 函数、极限与连续 1

1.1函数 1

1.2极限的基本概念与基本性质 4

1.3函数极限的计算 6

1.4数列极限的存在性判别 10

1.5极限的初步应用 11

1.6函数的连续性与间断点 12

1.7经济中常用的函数与极限在经济中的应用 14

1.8典型题分类分析 16

题类一、有关函数概念与特性的问题 16

题类二、有关极限基本概念与基本性质的问题 18

题类三、求函数的极限 19

题类四、判别数列极限的存在性与求极限 22

题类五、极限的初步应用问题 25

题类六、判别函数连续性与间断点 28

题类七、证明函数中值命题或方程根命题 30

题类八、极限在经济中的应用 32

第2章 导数与微分 34

2.1导数、微分的概念与基本性质 34

2.2导数与微分的运算法则与求法 37

2.3隐函数与参数方程确定的函数的导数 40

2.4导数的初步应用 42

2.5典型题分类分析 43

题类一、有关导数概念的问题 43

题类二、求直接函数的导数与微分 46

题类三、求间接函数的导数 50

题类四、导数的初步应用问题 52

第3章 微分中值定理与导数的应用 54

3.1微分中值定理 54

3.2利用导数研究函数与平面曲线的一般性态 55

3.3罗必达法则 59

3.4泰勒公式 61

3.5导数在经济中的应用 63

3.6典型题分类分析 65

题类一、微分中值定理的初步应用的问题 65

题类二、证明微分中值命题 71

题类三、研究函数与曲线的性态 77

题类四、求函数的最大、最小值的问题 82

题类五、讨论方程实根的个数 85

题类六、证明不等式 87

题类七、利用罗必达法则求极限 92

题类八、利用泰勒公式求极限和高阶导数值 96

题类九、利用泰勒公式证明不等式和中值命题 100

题类十、导数在物理中的应用 104

题类十一、导数在经济中的应用 106

第4章 定积分与不定积分 109

4.1定积分的概念与基本性质 109

4.2不定积分的概念与微积分基本定理 111

4.3积分公式与积分方法 112

4.4变限积分函数与定积分中值定理 122

4.5广义积分 124

4.6定积分在几何中的应用 126

4.7典型题分类分析 128

题类一、有关定积分概念与基本性质的问题 128

题类二、解有关原函数、不定积分概念与基本性质的问题 132

题类三、求线性型的积分 135

题型四、求非线性型积分之一（拼凑微分法） 137

题类五、求非线性型积分之二（分部积分法） 138

题类六、求非线性型积分之三（变量替换法） 142

题类七、求非线性型积分之四（综合法） 148

题类八、求解有关积分中值定理与变限积分函数的问题 151

题类九、证明积分等式（含有关函数的奇偶性与周期性） 156

题类十、证明积分不等式（含有关函数的单调性与凹凸性） 159

题类十一、证明与积分有关的方程根与中值命题 166

题类十二、广义积分 169

题类十三、利用定积分求几何度量 172

题类十四、一元函数微积分在几何中的综合应用 178

题类十五、积分在物理中的应用 182

题类十六、积分在经济中的应用 188

第5章 微分方程与差分方程 190

5.1微分方程的基本概念 190

5.2一阶微分方程 191

5.3二阶微分方程 194

5.4差分方程 200

5.5典型题分类分析 201

题类一、求解一阶微分方程 201

题类二、求解二阶微分方程 207

题类三、已知通解或特解，反求微分方程的问题 212

题类四、利用微分方程解函数方程，求未知函数 214

题类五、利用微分方程解几何问题，求未知曲线 216

题类六、利用微分方程构造辅助函数，证明微分中值命题 219

题类七、微分方程在物理等问题中的应用之一（解物体的运动问题） 220

题类八、微分方程在物理等问题中的应用之二（解物质的变化问题） 224

题类九、微分方程在经济等问题中的应用 227

题类十、差分方程及其在经济等问题中的应用 230

第6章 无穷级数 233

6.1常数项级数的概念与性质 233

6.2数项级数的审敛法 234

6.3幂级数 236

6.4傅里叶级数 240

6.5典型题分类分析 242

题类一、有关级数概念与基本性质的问题 242

题类二、数项级数敛散性的判别之一（正项级数审敛法） 247

题类三、数项级数敛散性的判别之二（交错级数与任意项级数审敛法） 254

题类四、求幂级数的收敛半径和收敛区域 259

题类五、求幂级数的和函数 262

题类六、求函数的幂级数展开式（间接展开法） 270

题类七、级数应用之一（解数列极限的问题） 273

题类八、级数应用之二（解有关函数的问题） 277

题类九、傅氏系数及其性质 281

题类十、傅氏级数的和以及函数展开成傅氏级数 284

题类十一、级数在经济中的应用（现值存入与逐年提取问题） 289

第7章 向量代数与空间解析几何 291

7.1向量 291

7.2平面与直线 295

7.3曲面与空间曲线 298

7.4典型题分类分析 301

题类一、有关点的坐标、向量的概念与运算的问题 301

题类二、求解平面与直线的方程以及位置关系 305

题类三、求解几个有关平面与直线方程的应用的问题 310

题类四、求解曲面与空间曲线的问题 314

题类五、柱面坐标与球面坐标的初步应用 319

题类六、向量与空间曲线在物理中的应用 320

第8章 多元函数微分学 321

8.1多元函数微分学的基本概念与基本性质 321

8.2复合函数的求导法 323

8.3隐函数的求导法 325

8.4多元微分学在几何中的应用 325

8.5多元函数的极值 327

8.6方向导数与梯度 329

8.7典型题分类分析 330

题类一、有关二元函数、极限与连续的问题 330

题类二、利用定义求二元函数的偏导数与全微分（含存在性判别） 333

题类三、利用一元函数的求导法则求多元函数的偏导数与全微分 337

题类四、求复合函数的偏导数与全微分 339

题类五、求隐函数的（偏）导数与（全）微分 341

题类六、已知偏导数，反求函数或参数（含对偏微分方程作变换） 347

题类七、求解与空间曲线（曲面）的切向量（法向量）有关的问题 351

题类八、求解多元函数的极值与最值问题 357

题类九、最值问题在几何中的应用 362

题类十、梯度与方向导数 366

题类十一、偏导数在经济中的应用 369

第9章 二重积分与三重积分 371

9.1二重积分、三重积分的概念和性质 371

9.2二重积分的计算 372

9.3三重积分的计算 375

9.4重积分在几何中的应用 379

9.5典型题分类分析 380

题类一、有关二重积分、三重积分概念与基本性质的问题 380

题类二、二重积分计算之一（基本积分法：利用两种坐标计算二重积分） 382

题类三、二重积分计算之二（二重积分法的几种技巧） 387

题类四、交换二次积分次序与计算二次积分 390

题类五、有关二重积分综合应用问题 394

题类六、三重积分计算之一（基本积分法：利用三种坐标计算三重积分） 396

题类七、三重积分计算之二（利用对称性计算三重积分） 403

题类八、重积分在几何中的应用 404

题类九、重积分在物理中的应用 408

第10章 曲线积分与曲面积分 414

10.1曲线积分 414

10.2曲面积分 418

10.3三大积分公式 422

10.4平面曲线积分与路径无关的条件与二元全微分形式的原函数 425

10.5“两量”与“三度” 426

10.6典型题分类分析 428

题类一、计算对弧长的曲线积分 428

题类二、计算对坐标的曲线积分之一（直接法） 431

题类三、计算对面积的曲面积分 434

题类四、计算对坐标的曲面积分之一（直接法） 438

题类五、平面曲线积分与路径无关性的判别与等价性问题 441

题类六、计算平面上对坐标的曲线积分之二（间接法，含格林公式应用） 446

题类七、计算空间中对坐标的曲线积分之二（间接法，含斯托克斯公式应用） 453

题类八、计算对坐标的曲面积分之二（间接法，含高斯公式应用） 455

题类九、计算“两量”与“三度” 461

题类十、曲线积分与曲面积分在物理中的应用 465

附录 2006～2008年全国硕士研究生入学统一考试数学试题（高等数学部分）选解 469

2006年数学一～数学四试题选解 469

2007年数学一～数学四试题选解 473

2008年数学一～数学四试题选解 483

2008年农学门类数学试题选解 493