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第一章 极限 1

1.1 数列的极限 1

一、数列极限的定义 1

二、收敛数列的性质 4

习题1.1 5

1.2 函数的极限 6

一、当x→x0时函数f（x）的极限 6

二、当x→∞时函数f（x）的极限 9

三、函数极限的定理 11

习题1.2 11

1.3 无穷小与无穷大 12

一、无穷小 12

二、无穷大 13

习题1.3 15

1.4 极限的运算法则 16

一、无穷小的运算性质 16

二、极限四则运算法则 17

三、复合函数求极限的运算法则 20

习题1.4 20

1.5 极限存在准则·两个重要极限 21

一、夹逼准则 21

二、单调有界准则 23

习题1.5 26

1.6 无穷小的比较 27

习题1.6 29

1.7 函数的连续性与间断点 29

一、函数连续性的概念 30

二、函数的间断点 32

习题1.7 34

1.8 连续函数的运算与初等函数的连续性 35

一、连续函数的四则运算 35

二、反函数的连续性 35

三、复合函数的连续性 36

四、初等函数的连续性 38

习题1.8 39

1.9 闭区间上连续函数的性质 39

一、最大值最小值定理 40

二、介值定理 40

习题1.9 41

总练习题一 42

第二章 导数与微分 43

2.1 导数的概念 43

一、关于变化率的例子 43

二、导数的定义 44

三、导数的几何意义 48

四、函数的可导性与连续性的关系 49

习题2.1 49

2.2 函数的求导法则 50

一、导数的四则运算法则 51

二、反函数的求导法则 53

三、复合函数的求导法则 54

四、初等函数的导数 57

五、双曲函数与反双曲函数的导数 57

习题2.2 58

2.3 高阶导数 59

习题2.3 61

2.4 隐函数及由参数方程所表示的函数的导数·相关变化率 62

一、隐函数的导数 62

二、由参数方程所表示的函数的导数 65

三、相关变化率 68

习题2.4 68

2.5 函数的微分及其应用 69

一、微分的概念 69

二、微分的几何意义 72

三、微分运算法则及一阶微分形式的不变性 72

四、微分在近似计算中的应用 74

习题2.5 75

总练习题二 76

第三章 微分中值定理与导数应用 78

3.1 微分中值定理 78

一、罗尔定理 78

二、拉格朗日中值定理 80

三、柯西中值定理 81

习题3.1 82

3.2 洛必达法则 83

习题3.2 85

3.3 泰勒公式 86

习题3.3 91

3.4 函数的单调与极值 92

一、函数的单调性 92

二、函数的极值 93

习题3.4 97

3.5 函数的最大值与最小值 97

习题3.5 99

3.6 曲线的凹凸性与拐点 100

习题3.6 103

3.7 函数图形的描绘 103

习题3.7 109

3.8 曲率 109

习题3.8 112

3.9 函数方程的数值解法 113

一、二分法 113

二、切线法 114

习题3.9 114

总练习题三 115

第四章 不定积分 117

4.1 不定积分的概念与性质 117

一、原函数与不定积分的概念 117

二、基本积分公式 119

三、不定积分的性质 120

习题4.1 122

4.2 换元积分法 122

一、第一换元法（凑微分法） 122

二、第二换元法（代入法） 126

习题4.2 129

4.3 分部积分法 130

习题4.3 133

4.4 特殊类型函数的积分 134

一、有理函数的不定积分 134

二、三角函数有理式的不定积分 137

三、某些根式的不定积分 138

习题4.4 139

总练习题四 139

第五章 定积分及其应用 141

5.1 定积分的概念及性质 141

一、问题的提出 141

二、定积分的定义 143

三、定积分的存在定理 144

四、定积分的几何意义 145

五、定积分的性质 146

习题5.1 149

5.2 微积分基本公式 150

一、变速直线运动中位置函数与速度函数之间的联系 150

二、积分上限函数及其导数 151

三、牛顿-莱布尼茨公式 153

习题5.2 155

5.3 定积分的换元积分法和分部积分法 157

一、定积分的换元积分法 157

二、定积分的分部积分法 161

习题5.3 163

5.4 广义积分 164

一、无穷限的广义积分 165

二、无界函数的广义积分 167

习题5.4 170

5.5 定积分的元素法 171

5.6 定积分的应用 173

一、定积分在几何上的应用 173

二、定积分在物理上的应用 183

习题5.6 186

5.7 定积分的数值计算方法 187

一、矩形法 188

二、梯形法 188

三、抛物线法 189

习题5.7 191

总练习题五 191

第六章 常微分方程 194

6.1 常微分方程的基本概念 194

习题6.1 196

6.2 可分离变量的微分方程 197

习题6.2 198

6.3 齐次方程 199

一、齐次方程 199

二、可化为齐次的方程 200

习题6.3 202

6.4 一阶线性微分方程 202

一、线性方程 202

二、伯努利方程 204

习题6.4 205

6.5 可降阶的高阶微分方程 206

一、y(n)=f（x）型 206

二、y″=f（x,y′）型 207

三、y″=f（y,y′）型 207

习题6.5 209

6.6 二阶线性微分方程 209

一、二阶线性微分方程解的结构 209

二、常数变易法 212

习题6.6 214

6.7 二阶常系数齐次线性微分方程 214

习题6.7 217

6.8 二阶常系数非齐次线性微分方程 218

一、f(x)=Pm(x)eλx型 218

二、f(x)=[Pl(x)cosωx+Pn(x)sinωx]eλx型 220

习题6.8 222

6.9 欧拉方程 223

习题6.9 223

6.10 一阶微分方程的数值解法 224

6.11 微分方程应用举例 226

一、列微分方程求解几何问题 226

二、用微元法求解液体浓度和流量问题 227

三、列微分方程求解物理问题 228

习题6.11 231

总练习题六 231

附录一 二阶和三阶行列式的计算 233

附录二 常用的参数方程与极坐标系的曲线 235

习题答案与提示 238