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上编　微分学 3

第一章 巴拿赫空间中的微分学 3

1．关于巴拿赫空间及连续线性映射概念的回顾 3

1.1．向量空间E上的范数 3

1.2．巴拿赫空间的例子 5

1.3．巴拿赫空间中的正规收敛级数 6

1.4．连续线性映射 7

1.5．连续线性映射的复合 9

1.6．赋范向量空间的同构；赋范向量空间上的等价范数 9

1.7．空间￡（E;F）的例子 12

1.8．连续多重线性映射 15

1.9．自然等距映射￡（E,F;G）≈￡（E；￡（F;G）） 18

2．可微映射 19

2.1．可微映射的定义 19

2.2．复合映射的导出映射 22

2.3．导出映射的线性 24

2.4．特殊映射的导出映射 24

2.5．在几个巴拿赫空间的积中取值的映射 27

2.6．U是几个巴拿赫空间的积中开集情形 30

2.7．2.5及2.6段中所研究情形的组合 31

2.8．最后的注记：R可微性及C可微性的比较 32

3．有限增量定理；应用 33

3.1．主要定理的叙述 33

3.2．主要定理的特殊情形 35

3.3．变量在巴拿赫空间中的有限增量定理 36

3.4．有限增量定理续论 39

3.5．习题 39

3.6．有限增量定理的第一种应用：可微映射序列的收敛性 40

3.7．有限增量定理的第二种应用：偏可微性与可微性之间的关系 42

3.8．有限增量定理的第三种应用：严格可微映射概念 43

4．C1类映射的局部反演…隐映射定理 45

4.1．C1类的微分同胚 45

4.2．局部反演定理 47

4.3．局部反演定理的证明：第一步化简 47

4.4．命题4.3.1的证明 48

4.5．定理4.4.1的证明 49

4.6．有限维情形下的局部反演定理 50

4.7．隐映射定理 51

5．高阶导出映射 54

5.1．二阶导出映射 54

5.2．E是乘积空间E1×…×En情形 57

5.3．逐阶导出映射 59

5.4．n次可微映射的例子 61

5.5．泰勒公式：特别情形 64

5.6．泰勒公式：一般情形 66

6．多项式 69

6.1．n次齐次多项式 69

6.2．不一定齐次的多项式 71

6.3．多项式的逐次“差分” 73

6.4．E及F是赋范向量空间情形 76

7．有限展开式 77

7.1．定义 77

7.2．f在点a处n次可微情形 80

7.3．有限展开式的运算 81

7.4．两个有限展开式的复合 82

7.5．计算复合映射的逐阶导出映射 83

8．相对极大与极小 84

8.1．相对极小的第一个必要条件 85

8.2．相对极小的二阶条件 85

8.3．严格相对极小的充分条件 87

习题 89

第二章　微分方程 98

1．定义与基本定理 98

1.1．一阶微分方程 98

1.2．n阶微分方程 99

1.3．近似解 100

1.4．例：线性微分方程 103

1.5．李普希茨情形：基本引理 104

1.6．基本引理的应用：唯一性定理 107

1.7．李普希茨情形下的存在定理 107

1.8．f是局部李普希茨情形 109

1.9．线性微分方程情形 111

1.10．对初始值的依赖性 112

1.11．微分方程依赖于一个参变量情形 113

2．线性微分方程 114

2.1．通解的形式 114

2.2．齐次线性方程研究 115

2.3．E有有限维情形 117

2.4．“带右端项的”线性方程 119

2.5．n阶齐次线性微分方程情形 120

2.6．“带右端项的”n阶线性微分方程 123

2.7．常系数线性微分方程 124

2.8．常系数方程：E有有限维情形 126

2.9．常系数n阶线性微分方程 127

3．一些问题 129

3.1．含一个参变量的线性自同构群 129

3.2．含一个参变量之群的芽 130

3.3．可微性问题 132

3.4．可微性问题（续）：对初始值u的可微性 133

3.5．定理3.4.2的证明 135

3.6．对微分方程所含一个参变量的可微性 137

3.7．高阶可微性 138

3.8．二阶微分方程情形 139

3.9．不含自变量的微分方程 140

3.10．“未解出的”微分方程 144

4．首次积分与线性偏微分方程 147

4.1．微分方程组的首次积分的定义 147

4.2．首次积分的存在性 149

4.3．非齐次线性偏微分方程 150

4.4．例 151

习题 153

下编　微分形式 163

第一章　微分形式 163

1．交错多重线性映射 163

1.1．交错多重线性映射的定义 163

1.2．排列群 164

1.3．交错多重线性映射的性质 165

1.4．交错多重线性映射的乘法 166

1.5．外乘法的性质 168

1.6．n个线性形式的外乘积 171

1.7．E有有限维情形 172

2．微分形式 173

2.1．微分形式的定义 173

2.2．微分形式的运算 174

2.3．外微分的运算 175

2.4．外微分运算的性质 177

2.5．外微分的基本性质 179

2.6．有限维空间上的微分形式 180

2.7．按典范写出的微分形式的算法 182

2.8．微分形式中的变量代换 185

2.9．变量代换中映射？＊的性质 186

2.10．按典范写出的？＊的计算 187

2.11．变量代换的可递性 189

2.12．微分形式等于dα的条件 190

2.13．庞加莱定理的证明 192

3．一次微分形式的线积分 197

3.1．C1类道路 197

3.2．线积分 198

3.3．参变量代换 200

3.4．ω是映射的微分情形 201

3.5．一次闭微分形式 204

3.6．闭形式沿一条道路的原映射 206

3.7．两条道路的同伦 208

3.8．单连通开集 211

4．次数＞1的微分形式的积分 212

4.1．单位的可微分解 212

4.2．平面R2中带边界的紧集 216

4.3．微分2形式在带边界的紧集K上的积分 219

4.4．平面上的斯托克斯定理 221

4.5．定理4.4.1（斯托克斯定理）的证明 222

4.6．重积分中的变量代换 226

4.7．空间Rn中的流形 230

4.8．流形的定向 234

4.9．微分2形式在C1类2维定向紧流形上的积分 235

4.10．n重积分 238

4.11．在流形M ？Rn上的微分形式 240

4.12．p维流形M（M ？Rn）的p维体积元素 241

5．流形上数值函数的极大与极小 244

5.1．第一阶条件 244

5.2．第二阶条件 245

6．弗罗贝尼乌斯定理 246

6.1．问题的地位 246

6.2．第一存在定理 248

6.3．第二存在定理 249

6.4．第二存在定理证明的终结 251

6.5．基本定理 252

6.6．用微分形式的解释 254

习题 257

第二章　变分学原理 265

1．问题的地位 265

1.1．C1类曲线的空间 265

1.2．曲线的泛函 266

1.3．例 268

1.4．极小问题 269

1.5．极值条件的变换 270

1.6．对于极值曲线f′（？）·u的计算 274

2．欧拉方程的研究：极值曲线的存在性．例 275

2.1．E=Rn情形下的欧拉方程 275

2.2．例 277

2.3．力学中的拉格朗日方程 278

2.4．回到一般情形：F（t,x,y）与t无关情形 279

2.5．F（x,y）是y的二次齐次式情形 280

2.6．流形的测地线情形 282

2.7．流形上曲线的极值问题 284

2.8．上列情形的变换 287

3．二维问题 288

3.1．问题的地位 288

3.2．极值条件的变换 290

习题 292

第三章 活动标架法对曲线及曲面论的应用 299

1．活动标架 299

1.1．微分形式ωi及ωij的定义 299

1.2．形式ωi及ωij所满足的关系式 301

1.3．标准正交标架 301

1.4．R3中定向曲线的弗雷内标架 302

1.5．R3中定向曲面S上定向曲线C的达布标架 304

1.6．测地曲率、法曲率及测地挠率的计算 305

2．与R3中曲面相联系的含三个参变量的标架族 307

2.1．定向曲面的标架流形 307

2.2．曲面上标架的运动方程 308

2.3．曲面S的面积元素 310

2.4．曲面S的第二基本二次形式 310

2.5．已定方向上法曲率及测地挠率的计算 311

2.6．主方向；曲率线 313

2.7．测地曲率的微分形式 314

2.8．标架场的应用 315

2.9．沿曲线的平行移动 316

2.10．全曲率与平行移动的关系 317

2.11．用第一基本形式计算曲面的全曲率 320

习题 321

索引 上编：微分学 325

索引 下编：微分形式 329

外国人名译名对照表 333

译后记 335