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第1章 预备知识 1

1.1 实数与复数 1

1.1.1 实数 1

1.1.2 复数 5

习题1.1 7

1.2 集合的概念 8

1.2.1 集合的概念 8

1.2.2 集合的包含与相等 9

1.2.3 集合的运算 10

1.2.4 区间与邻域 11

习题1.2 13

1.3 等式与不等式 14

1.3.1 等式 14

1.3.2 不等式 17

习题1.3 20

1.4 极坐标 21

1.4.1 极坐标的概念 21

1.4.2 极坐标与平面直角坐标的关系 23

习题1.4 24

第2章 函数及其图形 25

2.1 常量与变量 25

习题2.1 25

2.2 映射 26

2.2.1 映射的概念 26

2.2.2 几种重要映射 27

习题2.2 28

2.3 函数 28

2.3.1 函数及其图形 28

2.3.2 函数的表示法 29

2.3.3 函数的四则运算 31

2.3.4 特殊函数 31

2.3.5 函数的几种特性 32

习题2.3 35

2.4 初等函数 36

2.4.1 基本初等函数 36

2.4.2 初等函数 46

习题2.4 47

2.5 一元多项式及其运算 48

习题2.5 50

第3章 极限与连续 51

3.1 数列的极限 51

3.1.1 引例 51

3.1.2 数列极限的描述性定义 51

3.1.3 数列极限的规范化定义 53

3.1.4 数列极限的性质 55

习题3.1 58

3.2 函数的极限 59

3.2.1 自变量趋于无穷大时函数的极限 59

3.2.2 自变量趋于有限值时函数的极限 60

3.2.3 函数极限的性质和两个重要极限 62

习题3.2 64

3.3 无穷大与无穷小 64

3.3.1 无穷大 64

3.3.2 无穷小 65

3.3.3 无穷大与无穷小的关系 67

习题3.3 68

3.4 极限运算法则 68

习题3.4 72

3.5 函数的连续性 73

3.5.1 连续与间断 73

3.5.2 连续函数的运算与初等函数的连续性 75

习题3.5 78

3.6 闭区间上连续函数的性质 78

习题3.6 80

第4章 导数与微分 81

4.1 导数的概念 81

4.1.1 引例 81

4.1.2 导数的定义 82

4.1.3 导数的几何意义 87

4.1.4 函数可导性与连续性的关系 88

习题4.1 89

4.2 求导法则 90

4.2.1 函数的和、差、积、商的求导法则 90

4.2.2 反函数求导法则 92

4.2.3 复合函数求导法则 94

4.2.4 初等函数的导数 95

4.2.5 一些特殊函数的求导方法 96

习题4.2 99

4.3 高阶导数 101

习题4.3 104

4.4 函数的微分 105

4.4.1 微分的概念 105

4.4.2 微分的几何意义 108

4.4.3 基本初等函数的微分公式与微分运算法则 108

4.4.4 微分在近似计算中的应用 110

习题4.4 111

第5章 中值定理和导数的应用 113

5.1 中值定理 113

5.1.1 罗尔定理 113

5.1.2 拉格朗日中值定理 115

5.1.3 柯西中值定理 117

5.1.4 泰勒中值定理 117

习题5.1 119

5.2 洛必达法则 120

习题5.2 127

5.3 函数的单调性与凹凸性的判别法 128

5.3.1 函数单调性的判别法 128

5.3.2 函数极值的求法 129

5.3.3 函数凹凸性的判别法 130

习题5.3 132

5.4 函数图形的描绘 133

5.4.1 曲线的渐近线 133

5.4.2 函数图形的描绘 135

习题5.4 137

5.5 平面曲线的曲率 138

5.5.1 弧微分 138

5.5.2 曲率 139

5.5.3 曲率半径与曲率圆 142

习题5.5 143

第6章 不定积分 145

6.1 不定积分的概念与性质 145

6.1.1 原函数与不定积分的概念 145

6.1.2 不定积分的基本积分表 146

6.1.3 不定积分的性质 147

习题6.1 149

6.2 不定积分的计算 149

6.2.1 第一类换元法 150

6.2.2 第二类换元法 153

6.2.3 分部积分法 156

6.2.4 有理函数与三角有理函数的积分计算 161

习题6.2 165

第7章 定积分及其应用 167

7.1 定积分的概念与性质 167

7.1.1 引例 167

7.1.2 定积分的概念 169

7.1.3 定积分的性质 171

习题7.1 173

7.2 定积分的计算 174

7.2.1 积分上限的函数及其导数 174

7.2.2 牛顿—莱布尼茨公式 176

7.2.3 定积分的换元法 178

7.2.4 定积分的分部积分法 181

习题7.2 181

7.3 广义积分 183

7.3.1 无穷区间上的广义积分 183

7.3.2 无界函数的广义积分 184

习题7.3 186

7.4 定积分在几何上的应用 186

7.4.1 定积分应用中的微元法 186

7.4.2 平面图形的面积 187

7.4.3 体积 191

7.4.4 平面曲线的弧长 193

习题7.4 194

7.5 定积分在物理上的应用 195

7.5.1 变力沿直线所做的功 195

7.5.2 水的压力 196

7.5.3 引力 197

习题7.5 198

第8章 微分方程 200

8.1 微分方程的基本概念 200

习题8.1 202

8.2 一阶微分方程 202

8.2.1 可分离变量的微分方程 203

8.2.2 一阶线性微分方程 205

习题8.2 208

8.3 可降阶的高阶方程 209

8.3.1 形如y(n)=f（x）的微分方程 209

8.3.2 形如y″＝f（x,y′）的微分方程 210

8.3.3 形如y″＝f（y,y′）的微分方程 211

习题8.3 212

8.4 二阶常系数齐次线性微分方程 212

8.4.1 解的性质和结构 212

8.4.2 求解方法 214

习题8.4 217

8.5 二阶常系数非齐次线性微分方程 217

8.5.1 解的性质和结构 218

8.5.2 求解方法 218

习题8.5 222

第9章 无穷级数 223

9.1 常数项级数的概念和性质 223

9.1.1 常数项级数的概念 223

9.1.2 收敛级数的性质 225

习题9.1 227

9.2 常数项级数的审敛法 227

9.2.1 正项级数 228

9.2.2 交错级数 232

9.2.3 绝对收敛与条件收敛 232

习题9.2 234

9.3 幂级数 234

9.3.1 幂级数的概念 235

9.3.2 幂级数的收敛区间 236

9.3.3 幂级数的性质 239

习题9.3 240

9.4 函数展开成幂级数 241

9.4.1 泰勒级数 241

9.4.2 函数展开成幂级数 242

9.4.3 函数的幂级数展开式的应用 245

习题9.4 246

9.5 傅里叶级数 247

9.5.1 以2π为周期的函数展开成傅里叶级数 247

9.5.2 正弦级数和余弦级数 250

9.5.3 以2l为周期的函数展开成傅里叶级数 252

习题9.5 253

参考文献 254