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第1章 函数 1

1.1 预备知识 1

1.1.1 集合 1

1.1.2 空间 1

1.1.3 邻域 2

1.1.4 极坐标 3

1.2 函数 6

1.2.1 函数的概念 7

1.2.2 具有某种特性的函数 9

1.2.3 反函数 11

1.2.4 复合函数·初等函数 11

1.2.5 函数表示 12

1.2.6 经济学中常用的函数 13

习题1 18

第2章 极限与连续 20

2.1 数列的一般概念 20

2.1.1 数列的定义 20

2.1.2 有界数列 21

2.1.3 单调数列 21

2.2 数列极限 21

2.2.1 问题的提出 21

2.2.2 数列极限的直观描述 22

2.2.3 数列极限的几何意义 24

2.2.4 数列极限的性质 24

2.3 函数极限 24

2.3.1 函数极限的概念 25

2.3.2 函数极限的性质 27

2.3.3 函数极限的运算法则 27

2.3.4 复合函数的极限运算法则 28

2.4 无穷小与无穷大 28

2.4.1 无穷小的概念 28

2.4.2 收敛变量与其极限的关系 29

2.4.3 无穷大的概念 29

2.4.4 无穷小与无穷大的关系 30

2.4.5 无穷小的性质 30

2.4.6 无穷小阶的比较 31

2.5 极限的计算 31

2.5.1 有理函数的极限 32

2.5.2 重要极限之一 34

2.5.3 重要极限之二 36

2.5.4 等价无穷小的代换 37

2.6 单侧极限 40

2.7 函数的连续性 41

2.7.1 函数连续的概念 41

2.7.2 函数间断点的分类 42

2.7.3 初等函数的连续性 44

2.7.4 闭区间上连续函数的性质 45

2.8 极限存在准则 47

2.8.1 准则Ⅰ——两边夹定理 47

2.8.2 准则Ⅱ——单调有界定理 49

2.9 计算极限与判断连续方法的拓展 51

2.10 极限应用 56

2.10.1 连续复利问题 56

2.10.2 Fibonacci数列与黄金分割问题 57

2.10.3 雪花曲线问题 58

习题2 59

第3章 导数与微分 65

3.1 导数的概念 65

3.1.1 问题的提出 65

3.1.2 导数的定义 67

3.1.3 导数的几何意义 69

3.2 微分的概念 71

3.2.1 问题的提出 71

3.2.2 微分的定义 72

3.2.3 微分的几何意义 73

3.3 导数的计算 73

3.3.1 四则运算法则 74

3.3.2 反函数的求导法则 75

3.3.3 复合函数的求导法则 77

3.4 微分的计算 80

3.4.1 基本初等函数的微分公式 80

3.4.2 微分的运算法则 81

3.4.3 微分形式的不变性 82

3.5 再论导数与微分 83

3.5.1 导数定义的等价形式 83

3.5.2 单侧导数 86

3.5.3 微分的实质 88

3.6 一元微分学中的主要关系 89

3.6.1 可导与连续的关系 89

3.6.2 可导与可微的关系 91

3.6.3 可导与连续可导的关系 91

3.7 微分法拓展 94

3.7.1 高阶导数求导公式及其运算法则 94

3.7.2 隐函数求导法则 97

3.7.3 由参数方程所确定的函数的导数 98

3.7.4 对数求导法 100

3.7.5 抽象函数求导 101

3.8 导数的应用 103

3.8.1 导数在经济学中的应用 103

3.8.2 导数在工程中的应用 105

3.9 微分的应用 107

3.9.1 微分在近似计算中的应用 107

3.9.2 微分在误差计算中的应用 108

习题3 109

第4章 中值定理与导数的应用 114

4.1 中值定理 114

4.1.1 费马（Fermat）定理 114

4.1.2 罗尔（Rolle）定理 115

4.1.3 拉格朗日（Lagrange）中值定理 117

4.2 洛必达法则 118

4.2.1 洛必达法则Ⅰ（0/0型不定式） 119

4.2.2 洛必达法则Ⅱ（∞／∞型不定式） 120

4.2.3 其他不定式（0·∞，∞—∞，1∞，00，∞0） 122

4.3 函数的性态解析 125

4.3.1 函数的单调性 125

4.3.2 函数的凹凸性 128

4.3.3 函数的极值 131

4.3.4 函数的最值 134

4.3.5 曲线的渐近线 136

4.4 再论中值定理 137

4.4.1 罗尔定理探究 137

4.4.2 拉格朗日中值定理探究 140

4.4.3 柯西（Cauchy）定理 141

4.5 基于中值定理的证明方法拓展 143

4.6 高等不等式的证明 149

4.6.1 利用微分中值定理证明不等式 149

4.6.2 利用单调性证明不等式 149

4.6.3 利用凹凸性证明不等式 150

4.6.4 利用极值和最值证明不等式 151

4.7 经济函数的优化问题 152

4.7.1 平均成本最小化问题 152

4.7.2 存货成本最小化问题 153

4.7.3 利润最大化问题 155

4.7.4 需求弹性分析与总收益变化的问题 157

4.8 精密测量问题 158

4.9 函数图形的绘制问题 159

4.9.1 函数作图的步骤 159

4.9.2 函数绘图赏析 160

习题4 162

第5章 空间解析几何 168

5.1 空间坐标系 168

5.1.1 直角坐标系 168

5.1.2 柱坐标系 170

5.1.3 球坐标系 171

5.1.4 空间两点之间的距离 172

5.2 向量代数 173

5.2.1 向量的概念 173

5.2.2 向量的坐标 174

5.2.3 向量的坐标运算 175

5.2.4 向量的数量积 178

5.2.5 向量的向量积 179

5.2.6 向量的混合积 182

5.3 空间平面 184

5.3.1 平面方程的类型 184

5.3.2 两平面的位置关系 188

5.4 空间直线 189

5.4.1 直线方程的类型 189

5.4.2 两直线的位置关系 192

5.4.3 直线与平面的位置关系 192

5.5 空间的距离 194

5.5.1 点面距离 194

5.5.2 点线距离 195

5.5.3 面面距离 196

5.5.4 线线距离 196

5.6 曲面及其方程 197

5.6.1 一般曲面 197

5.6.2 旋转曲面 197

5.6.3 柱面 200

5.6.4 二次曲面 201

5.7 空间曲线 209

5.7.1 空间曲线的一般方程 209

5.7.2 空间曲线的参数方程 210

5.8 线面方程求法拓展 212

5.8.1 平面束 212

5.8.2 空间曲线在坐标面上的投影 214

5.8.3 由曲线旋转而成的曲面方程 216

5.9 曲面及其组合图形在坐标面上的投影 217

5.10 图形欣赏 220

习题5 231

第6章 多元函数微分法及其应用 236

6.1 二元函数 236

6.1.1 预备知识 236

6.1.2 二元函数的概念 237

6.1.3 二元函数的极限 239

6.1.4 二元函数的连续 242

6.2 偏导数 243

6.2.1 函数的增量 243

6.2.2 偏导数的概念 244

6.2.3 偏导数的几何意义 245

6.2.4 一阶偏导数的计算 246

6.2.5 高阶偏导数 248

6.3 空间曲线的切线与法平面 249

6.4 曲面的切平面与法线 253

6.5 方向导数 255

6.6 梯度 257

6.7 全微分 259

6.7.1 全微分的定义 260

6.7.2 全微分的计算 261

6.8 多元微分学中的关系 262

6.8.1 极限与连续 262

6.8.2 可导与连续 263

6.8.3 可微与可导 264

6.8.4 偏导数连续与可微 265

6.9 多元复合函数的求导法则 267

6.9.1 多元复合函数的关系 267

6.9.2 多元复合函数的求导法则 268

6.9.3 全微分形式的不变性 273

6.10 隐函数的求导法 274

6.10.1 由方程F（x,y）=0所确定的隐函数的导数 274

6.10.2 由方程F（x,y,z）=0所确定的隐函数的导数 275

6.10.3 由方程组所确定的隐函数的导数 277

6.11 二元函数的极值 279

6.11.1 二元函数的无条件极值 279

6.11.2 二元函数的条件极值 284

6.12 多元函数微积分在经济学中的应用 287

6.12.1 利用偏导数对经济增量进行解释 287

6.12.2 利用偏导数对两种商品之间的性质进行解释 288

6.12.3 利用全微分在经济分析中进行近似计算 289

6.12.4 利用极值求经济变量的最大值和最小值 289

习题6 290

附录A 常用的初等数学公式 296

附录B 习题答案（上） 299

参考文献 320