数值计算方法 高十三五PDF电子书下载

第1章 数值计算中的误差 1

1.1误差来源 1

1.2误差、误差限及有效数字 3

1.3误差在计算过程中的传播 5

1.3.1误差在函数值计算过程中的传播 5

1.3.2误差在四则运算中的传播 6

1.4计算方法的数值稳定性 7

1.5秦九韶算法 9

1.5.1秦九韶算法基本思想 9

1.5.2秦九韶算法及其实现 9

习题1 10

第2章 解线性方程组的直接方法 12

2.1线性代数基本知识 12

2.1.1向量、矩阵的范数及其性质 13

2.1.2扰动理论基础 16

2.2线性方程组的直接解法 17

2.2.1 Gauss消去法 17

2.2.2列选主元素Gauss消去法 22

2.2.3完全选主元素Gauss消去法 23

2.2.4 Gauss-Jordan消去法 26

2.2.5矩阵的三角分解 28

2.3特殊矩阵的直接解法 33

2.3.1平方根方法 33

2.3.2追赶法 35

2.4线性方程组直接解法的误差分析 37

习题2 38

第3章 解线性方程组的迭代法 41

3.1迭代法的理论基础 41

3.2简单迭代法 43

3.2.1 Jacobi迭代 43

3.2.2 Gauss-Seidel迭代 45

3.2.3逐次超松弛迭代法（SOR方法） 46

3.3解线性方程组的共轭梯度法 47

习题3 50

第4章 代数插值 53

4.1引言 53

4.2多项式插值 54

4.2.1插值多项式的存在唯一性 54

4.2.2 Lagrange插值 55

4.2.3 Newton插值 58

4.3差分与等距节点插值公式 61

4.4 Hermite插值 63

4.5分段低次插值 66

4.5.1分段线性插值 67

4.5.2分段三次Hermite插值 67

4.6三次样条插值 68

4.7多项式插值算法实现及其应用实例 75

习题4 77

第5章 函数逼近与曲线拟合 80

5.1引言与预备知识 80

5.2最佳一致逼近 81

5.2.1一致逼近多项式 81

5.2.2最佳一致逼近多项式 82

5.2.3 Remez算法与Chebyshev插值 85

5.3最佳平方逼近 88

5.3.1连续函数所构成的内积空间 89

5.3.2函数的最佳平方逼近 91

5.4正交多项式 93

5.4.1线性无关函数族的Schimidt正交化 94

5.4.2勒让德（Legendre）多项式 95

5.4.3 Chebyshev多项式 96

5.4.4其他常用的正交多项式 99

5.5函数按正交多项式展开 100

5.5.1用正交多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式的一般方法 100

5.5.2用Legendre多项式构造连续函数的最佳平方逼近多项式 101

5.5.3用三角多项式构造周期函数的最佳平方逼近多项式 104

5.6离散数据集的最佳平方逼近 105

5.6.1曲线拟合的最小二乘方法 106

5.6.2用正交函数作最小二乘拟合 110

5.7离散Fourier变换（DFT）与快速Fourier变换算法（FFT） 111

5.7.1离散Fourier变换（DFT） 111

5.7.2快速Fourier变换（FFT） 113

习题5 116

第6章 数值积分与数值微分 118

6.1数值求积的基本思想 118

6.2机械求积公式与代数精度 119

6.2.l机械求积公式 119

6.2.2插值型的求积公式 120

6.3 Newton-Cotes公式 120

6.3.1 Cotes系数 120

6.3.2几种低阶Newton-Cotes求积公式的余项 122

6.4复化求积公式及其收敛性 123

6.4.1复化梯形求积公式 124

6.4.2复化Simpson求积公式 124

6.4.3复化Newton-Cotes求积公式 124

6.5 Romberg算法 126

6.5.1梯形法的递推化 126

6.5.2 Richardson外推算法 127

6.5.3 Romberg求积公式 128

6.6 Gauss求积公式 130

6.6.1 Gauss点 130

6.6.2 Gauss-Legendre求积公式 131

6.6.3带权的Gauss求积公式 133

6.7数值微分 134

6.7.1插值型的求导公式 135

6.7.2样条求导 137

习题6 137

第7章 常微分方程数值解 139

7.1引言 139

7.2 Euler方法 140

7.2.1 Euler格式 140

7.2.2后退的Euler格式 141

7.2.3 Euler两步格式 145

7.3 Runge-Kutta方法 146

7.3.1二阶Runge-Kutta方法 147

7.3.2四阶Runge-Kutta方法 149

7.3.3变步长的Runge-Kutta方法 150

7.4单步法的收敛性与稳定性 151

7.4.1单步法的收敛性 151

7.4.2单步法的稳定性 152

7.5线性多步法 153

7.5.1基于数值积分的常微分方程数值方法 153

7.5.2基于Taylor展开的构造方法 154

7.6方程组与高阶方程的情形 156

7.6.1一阶方程组 156

7.6.2化高阶方程组为一阶方程组 157

7.7边值问题的数值解法 158

7.7.1差分方程的可解性 159

7.7.2差分方法的收敛性 160

习题7 160

第8章 非线性方程求解 162

8.1根的搜索 162

8.1.1逐步搜索法 162

8.1.2二分法 163

8.2迭代法 164

8.2.1迭代过程的收敛性 164

8.2.2迭代公式的加速 167

8.3牛顿迭代法 168

8.3.1牛顿迭代公式 168

8.3.2 Newton迭代法的局部收敛性 169

8.3.3 Newton迭代法应用举例 170

8.3.4 Newton下山法 171

8.4弦截法与抛物线法 171

8.4.1弦截法 172

8.4.2抛物线法 172

8.5代数方程求根 173

8.5.1求多项式单根的Newton迭代法 173

8.5.2多项式根模的界与实根隔离 176

8.5.3多项式复根的计算 178

习题8 183

第9章 矩阵特征值问题 185

9.1特征值的概念以及一般理论 185

9.1.1矩阵特征值、特征向量及特征多项式 185

9.1.2简单矩阵的特征值与特征向量 185

9.2矩阵的正交分解与相似变换 187

9.2.1 Givens变换 187

9.2.2 Householder变换 188

9.2.3 矩阵的QR分解 189

9.2.4矩阵的相似变换 191

9.3求矩阵特征值的迭代方法 194

9.3.1求矩阵最大特征值的幂法 194

9.3.2反幂法 197

9.3.3降阶法 199

9.3.4正交迭代 200

9.3.5求非对称矩阵全部特征值的QR方法 202

习题9 205

参考文献 208