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第1篇　集合论 2

第1章　集合 2

1.1 集合的概念与表示法 2

1.1.1 集合的概念 2

1.1.2 特殊集合 2

1.1.3 集合的表示法 3

习题1.1 3

1.2 集合之间的关系 4

1.2.1 包含关系与子集 4

1.2.2 相等关系 4

1.2.3 真包含与真子集 4

1.2.4 幂集 5

1.2.5 集族与总族 5

1.2.6 一种辅助分析集合与集合元素之间关系的有效方法 5

习题1.2 5

1.3　集合的运算 6

1.3.1 基本运算 6

1.3.2 文氏图 7

1.3.3 运算性质 7

1.3.4 对运算定律的否定的证明方法 10

习题1.3 10

1.4 笛卡儿积 11

1.4.1 序对 11

1.4.2 笛卡儿积（叉积） 11

1.4.3 运算性质 11

习题1.4 13

1.5 有限集合的基数 13

习题1.5 14

1.6 数学归纳法与自然数 15

1.6.1 归纳定义 15

1.6.2 自然数 16

1.6.3 归纳证明 17

习题1.6 19

1.7 语言上的运算 19

1.7.1 串及其运算 20

1.7.2　语言及其运算 20

1.7.3 语言的闭包及其性质 22

习题1.7 23

第2章　关系 24

2.1 二元关系 24

2.1.1　关系的概念 24

2.1.2　关系的特例 25

2.1.3　关系的域 25

2.1.4　关系矩阵与关系图 25

习题2.1 26

2.2 具有特殊性质的关系 27

2.2.1 自反性 27

2.2.2　反自反性 27

2.2.3　对称性 28

2.2.4　反对称性 28

2.2.5　传递性 28

习题2.2 29

2.3 复合关系与逆关系 30

2.3.1　复合关系 30

2.3.2　复合运算的矩阵实现及图解 31

2.3.3　复合幂运算的图解 32

2.3.4　逆关系 32

2.3.5　复合运算和逆运算与集合运算的关系 33

习题2.3 34

2.4 关系的闭包运算 35

2.4.1　闭包的概念 35

2.4.2　闭包的性质 35

2.4.3　闭包的复合 38

习题2.4 40

2.5 等价关系与集合的划分 40

2.5.1　等价关系 41

2.5.2　集合的划分 41

2.5.3　等价关系与集合划分的联系 42

习题2.5 43

2.6 相容关系与覆盖 43

2.6.1　覆盖 43

2.6.2　相容关系 44

2.6.3　极大相容类的求法 44

2.6.4　相容关系与覆盖之间的联系 46

习题2.6 47

2.7 序关系 47

2.7.1　拟序关系（半序、准序） 48

2.7.2　偏序关系（部分序） 48

2.7.3　哈斯图 48

2.7.4　元素的大小与子集的界 49

2.7.5　子全序与良序 50

习题2.7 50

第3章　映射 52

3.1　映射的基本概念 52

3.1.1　映射的概念 52

3.1.2　单射、满射和双射 54

3.1.3　两映射相等 54

3.1.4　规范映射 55

3.1.5　f诱导的等价关系 55

3.1.6　二元运算 55

习题3.1 56

3.2　映射的复合和逆 57

3.2.1 映射的复合 57

3.2.2　逆映射 58

习题3.2 59

3.3　归纳定义映射 60

习题3.3 61

3.4　变换和置换 62

3.4.1　基本概念 62

3.4.2　置换的性质 62

3.4.3　轮换（循环置换） 63

3.4.4　轮换的性质 63

习题3.4 63

3.5　特征函数与模糊子集 64

3.5.1　集合的特征函数 64

3.5.2　模糊子集 65

习题3.5 66

第4章　无限集合及其势 67

4.1　无限集合及其势简介 67

4.1.1　有限集与无限集 67

4.1.2　势与等势 67

习题4.1 68

4.2 可数集 68

习题4.2 70

4.3　势比较与连续统假设 71

4.3.1　不可数集的存在及连续统 71

4.3.2　势比较 71

4.3.3　势的无限性和连续统假设 73

习题4.3 74

4.4 势算术 75

习题4.4 76

第2篇　近世代数 80

第5章　代数系统 80

5.1　运算及运算律 80

5.1.1　运算 80

5.1.2　运算律 80

5.1.3 特殊元素 81

5.1.4　特殊元素的性质 82

习题5.1 83

5.2　代数系统 83

5.2.1　代数系统（代数结构） 83

5.2.2　子代数系统 83

习题5.2 84

5.3　同态与同构 84

5.3.1　同类型的代数系统 84

5.3.2　同态与同构的概念 84

5.3.3　同态性质 85

习题5.3 86

5.4　同余关系 87

习题5.4 88

5.5　商代数与积代数 88

习题　5.5 89

5.6 自然同态与同态三角形 90

习题　5.6 92

第6章　半群、独异点和群 93

6.1　半群 93

6.1.1　半群 93

6.1.2　子半群 94

6.1.3　循环半群 94

6.1.4　半群同态 94

习题6.1 95

6.2 独异点 95

6.2.1 独异点 95

6.2.2　子独异点 96

6.2.3　循环独异点 96

6.2.4　独异点同态 96

习题6.2 97

6.3　群 97

6.3.1　群的概念 97

6.3.2　群的性质 98

6.3.3　群的阶及元素的阶 99

6.3.4　低阶实际群 99

习题6.3 100

6.4 子群 101

习题　6.4 101

6.5　变换群、置换群和循环群 101

6.5.1　变换群 101

6.5.2　置换群 102

6.5.3　循环群 103

习题6.5 103

6.6　群同态与同构 103

6.6.1　群同态 103

6.6.2　群同构 104

6.6.3　同态核 105

习题6.6 105

6.7　陪集及拉格朗日定理 106

习题6.7 107

6.8　正规子群及群同态三角形 107

6.8.1　正规子群 108

6.8.2　商群 109

6.8.3　群同态三角形 110

习题6.8 110

第7章　环、体、域 111

7.1 环 111

7.1.1 环的基本概念 111

7.1.2 环的性质 112

7.1.3 子环 113

习题7.1 113

7.2 环同态、理想和商环 114

7.2.1 环同态 114

7.2.2 同余关系与理想 114

7.2.3 商环 115

7.2.4　环同态三角形 115

习题7.2 116

7.3 体和域 117

7.3.1 体和域的概念 117

7.3.2 体和域的简单性质 117

7.3.3　商体和商域 118

习题7.3 119

第8章　格与布尔代数 120

8.1　格 120

8.1.1 格的概念 120

8.1.2 格的基本性质 121

8.1.3 低阶实际格 122

8.1.4　格——代数系统 122

习题8.1 125

8.2 特殊格 125

8.2.1 有界格 125

8.2.2 有补格 126

8.2.3 分配格 126

习题8.2 127

8.3 布尔代数 128

8.3.1 布尔代数的概念及基本性质 128

8.3.2　子布尔代数 130

8.3.3 布尔环 130

习题8.3 133

8.4 布尔同态 134

8.4.1 布尔同态的概念及简单性质 134

8.4.2 布尔代数表示定理 135

习题8.4 137

8.5 布尔表达式与布尔函数 137

8.5.1 布尔表达式的基本概念 137

8.5.2 布尔表达式的范式及分类 138

8.5.3 布尔函数 139

8.5.4　如何求范式 141

第3篇　图论 144

第9章　图论 144

9.1 基本概念 144

习题9.1 146

9.2 子图与同构 147

习题9.2 148

9.3 路与回路 149

习题9.3 151

9.4 可达与连通 152

习题9.4 153

9.5 图的矩阵表示 154

习题9.5 158

9.6 欧拉图与汉密尔顿图 159

习题9.6 162

9.7 二分图与匹配 163

习题9.7 166

9.8 平面图 166

习题9.8 168

9.9 对偶图与着色 169

习题9.9 170

9.10 无向树 171

习题9.10 175

9.11 有向树 175

习题9.11 178

第4篇　数理逻辑 182

第10章　命题逻辑 182

10.1 命题及联结词 182

10.1.1　命题 182

10.1.2　联结词 183

习题10.1 184

10.2 命题公式与恒等公式 185

10.2.1　命题公式 185

10.2.2　恒等公式 186

习题10.2 187

10.3 联结词的扩充与归约 188

10.3.1 联结词的扩充 188

10.3.2　联结词的归约 188

习题10.3 189

10.4 永真式与蕴含式 189

10.4.1　永真式及其性质 189

10.4.2　恒等式的性质 190

10.4.3　蕴含式 190

习题10.4 192

10.5 代入与置换、对偶 193

10.5.1　代入规则 193

10.5.2 置换规则 193

10.5.3　用代入和置换规则证明的实例 194

10.5.4　对偶原理 194

习题10.5 195

10.6 范式 196

10.6.1　范式的概念 196

10.6.2　范式的性质 197

10.6.3　如何求主范式 198

习题10.6 198

10.7 推理规则及证明方法 198

10.7.1 推理理论 198

10.7.2　证明方法 199

10.7.3　演绎证明原理 200

10.7.4　演绎证明的具体方法 201

习题10.7 204

第1 1章　谓词逻辑 205

11.1 谓词与量词 205

11.1.1　谓词 205

11.1.2　量词 206

11.1.3　个体域 207

11.1.4　如何将一个具体命题符号化 209

习题11.1 209

11.2 谓词公式及变元的约束 210

11.2.1　谓词公式 210

11.2.2 变元的约束 210

习题11.2 211

11.3 谓词演算的恒等式、永真式和蕴含式 211

11.3.1　谓词演算的恒等式 211

11.3.2　谓词演算的永真式及蕴含式 213

11.3.3　实例 214

习题11.3 214

11.4 谓词逻辑的代入与置换规则 215

11.4.1　代入规则 215

11.4.2　置换规则 216

11.4.3　对偶原理 216

11.5 前束范式和Skolem范式 216

11.5.1　前束范式 216

11.5.2　Skolem范式 217

习题11.5 218

11.6 谓词逻辑的推理规则 218

11.6.1　术语“A（x）对y是自由的”的意义 218

11.6.2　谓词逻辑中的推理规则 219

11.6.3　实例 221

习题11.6 222

附录A “离散数学”在其他课程中的应用列表 224

参考文献 227