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译者序 1

前言 1

历史回顾 1

第一部分 非线性微分方程组 5

第1章 解微分方程的几何方法 5

第2章 线性系统 10

2.1 基本解集 11

2.2　常系数线性方程组：解与相图 16

2.2.1 复特征值 22

2.2.2　重实特征值 28

2.2.3　拟周期系统 33

2.3 含时变强迫项的非齐次线性系统 36

2.4　应用 38

2.4.1　混合流 38

2.4.2　恶性肿瘤模型 41

2.4.3　糖尿病检测 41

2.4.4　电路 42

2.5　理论与证明 44

练习 54

3.1　非线性方程的解 57

第3章 非线性方程的解——流 57

3.2　微分方程的数值解 63

3.3　理论与证明 72

练习 80

第4章 不动点与相图 83

4.1　不动点的稳定性 83

4.2　一维微分方程 87

4.3 二维微分方程和零倾线 91

4.4　不动点的线性化稳定性 96

4.5　竞争种群 103

4.6.1　恒化器模型 107

4.6　应用 107

4.6.2　传染病模型 110

4.7　理论与证明 112

练习 118

第5章 相图的函数分析方法 124

5.1　捕食者-食饵系统 124

5.2　无阻尼强迫振荡 126

5.3　阻尼系统的李雅普诺夫函数 133

5.4　极限集 138

5.5　梯度系统 142

5.6.1　非线性振子 145

5.6　应用 145

5.6.2　神经网络 146

5.7　理论与证明 148

练习 150

第6章 周期轨 154

6.1　定义与例题 154

6.2　庞加莱-本迪克松定理 157

6.3 自激振子 162

6.4　安德罗诺夫-霍普夫分支 164

6.5　周期轨的同宿分支 171

6.6　流作用下面积或体积的变化 174

6.7　周期轨的稳定性与庞加莱映射 176

6.8　应用 184

6.8.1　化学振荡 184

6.8.2　非线性电路 185

6.8.3 具有安德罗诺夫-霍普夫分支的捕食者-食饵系统 186

6.9　理论与证明 190

练习 199

第7章 混沌吸引子 206

7.1 吸引子 206

7.2.1　敏感依赖性 212

7.2　混沌 212

7.2.2　混沌吸引子 214

7.3　洛伦兹系统 216

7.3.1 洛伦兹方程的不动点 217

7.3.2　洛伦兹方程的庞加莱映射 219

7.4 R？ssler吸引子 224

7.5　强迫振荡 226

7.6　李雅普诺夫指数 228

7.7　混沌吸引子的检验 235

7.8　应用 236

7.9　理论与证明 239

练习 242

第二部分　叠函数 247

第8章 动力系统中的叠函数 247

8.1 一维映射 247

8.2　多变量函数 251

第9章 一维映射的周期点 254

9.1 周期点 254

9.2　图示迭代法 261

9.3　周期点的稳定性 264

9.3.1　牛顿映射 269

9.3.2　逻辑斯谛族映射的不动点和2-周期点 271

9.4　周期汇和施瓦茨导数 275

9.5　周期点的分支 278

9.6　共轭 287

9.7　应用 292

9.7.1 资本积累 292

9.7.2　单种群模型 292

9.7.3　血细胞种群模型 295

9.8　理论与证明 295

练习 303

第10章 一维映射的迭路 310

10.1 周期点的转换图方法 310

10.2　拓扑传递性 318

10.3　符号序列 321

10.4　对初始值的敏感依赖性 328

10.5　康托尔集 330

10.6 子位移：分段扩张区间映射 337

10.7　应用 345

10.7.1 牛顿映射：非收敛轨线 345

10.7.2　种群增长模型的复杂动力学 347

10.8　理论与证明 348

练习 354

第11章 一维映射的不变集 360

11.1 极限集 360

11.2　混沌吸引子 362

11.3　李雅普诺夫指数 375

11.4　测度 380

11.4.1　测度的一般性质 380

11.4.2　频率测度 383

11.4.3　扩张映射的不变测度 390

11.5　应用 396

11.5.1　资本积累 396

11.5.2　混沌的血细胞种群 396

11.6　理论与证明 397

练习 399

第12章 高维映射的周期点 402

12.1　线性映射的动力学 402

12.2　周期点的稳定性和分类 413

12.3　稳定流形 423

12.3.1　稳定流形的数值计算 427

12.3.3　高维映射的稳定流形 428

12.3.2　吸引域边界 428

12.4　双曲环面自同构 429

12.5　应用 434

12.5.1　马尔可夫链 434

12.5.2　Rn中的牛顿映射 439

12.5.3　甲虫种群模型 439

12.5.4　离散传染病模型 443

12.5.5　单陆棵基因模型 444

12.6　理论与证明 446

练习 448

13.1 几何马蹄 451

第13章 高维映射的不变集 451

13.2　符号动力学 461

13.2.1 正规矩形 461

13.2.2　马尔可夫分割 467

13.2.3　双曲环面自同构的马尔可夫分割 471

13.2.4　跟踪 475

13.3　同宿点和马蹄 476

13.4　吸引子 478

13.5　高维映射的李雅普诺夫指数 484

13.5.1 缘于椭球轴的李雅普诺夫指数 486

13.5.2　李雅普诺夫指数的数值计算 491

13.6　混沌吸引子的检验 492

13.7　应用 494

13.8　理论与证明 495

练习 498

第14章 分形 503

14.1　盒维数 503

14.2　轨道的维数 511

14.2.1　相关维数 511

14.2.2　李雅普诺夫维数 512

14.3　叠函数系 514

14.3.1 作用在集合上的叠函数系 517

14.3.2　叠函数系的随机作用 520

14.3.3　确定叠函数系 522

14.4　理论与证明 524

练习 530

附录A 微积分学基础知识和记号 534

附录B 分析学和拓扑学的相关术语 536

附录C　矩阵代数 540

附录D 通有性质 544

参考文献 547

索引 551