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第1章 函数、极限与连续 1

1.1 函数 1

1.1.1 函数 1

1.1.2 基本初等函数 4

1.1.3 复合函数 5

1.1.4 初等函数 5

练习1.1 6

1.2 函数的极限 6

1.2.1 数列的极限 7

1.2.2 函数的极限 7

1.2.3 极限的运算法则 9

1.2.4 两个重要极限 10

1.2.5 无穷小量与无穷大量 11

练习1.2 13

1.3 函数的连续性 13

1.3.1 函数的连续性 13

1.3.2 初等函数的连续性 15

1.3.3 闭区间上连续函数的性质 15

练习1.3 16

综合练习1 17

第2章 导数及其应用 19

2.1 导数 19

2.1.1 变化率问题举例 19

2.1.2 导数的概念 20

2.1.3 单侧导数 23

2.1.4 可导与连续的关系 23

练习2.1 24

2.2 求导法则 24

2.2.1 导数的四则运算法则 25

2.2.2 复合函数的求导法则 26

练习2.2 27

2.3 导数的基本公式与高阶导数 27

2.3.1 反函数求导法则 27

2.3.2 基本导数公式 28

2.3.3 高阶导数 28

练习2.3 30

2.4 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 30

2.4.1 隐函数的导数 30

2.4.2 对数求导法 31

2.4.3 由参数方程所确定的函数的导数 32

练习2.4 33

2.5 微分中值定理与洛必达法则 34

2.5.1 微分中值定理 34

2.5.2 洛必达法则 35

练习2.5 36

2.6 函数及曲线的特性 37

2.6.1 函数的单调性与极值 37

2.6.2 曲线的凹凸性与拐点 41

练习2.6 43

2.7 最大值与最小值问题 43

2.7.1 函数的最大值与最小值 43

2.7.2 最大值与最小值的应用 44

练习2.7 45

2.8 微分及其应用 46

2.8.1 函数的微分 46

2.8.2 微分在近似计算中的应用 48

练习2.8 49

综合练习2 50

第3章 不定积分及其应用 52

3.1 不定积分的概念与性质 53

3.1.1 不定积分的概念 53

3.1.2 不定积分的性质 54

3.1.3 基本积分公式 55

练习3.1 56

3.2 换元积分法 56

3.2.1 第一类换元法 56

3.2.2 第二类换元法 58

练习3.2 60

3.3 分部积分法 60

练习3.3 63

3.4 微分方程的概念、可分离变量的微分方程 63

3.4.1 微分方程的概念 63

3.4.2 可分离变量的微分方程 65

练习3.4 68

3.5 一阶线性微分方程 68

3.5.1 一阶线性齐次微分方程 68

3.5.2 一阶线性非齐次微分方程 69

练习3.5 71

综合练习3 72

第4章 定积分及其应用 74

4.1 定积分的概念与性质 74

4.1.1 定积分定义 76

4.1.2 定积分的几何意义 77

4.1.3 定积分的性质 78

练习4.1 78

4.2 微积分基本定理 79

4.2.1 变上限的定积分 79

4.2.2 微积分基本定理 80

练习4.2 82

4.3 定积分的计算 82

4.3.1 定积分的换元积分法 82

4.3.2 定积分的分部积分法 84

练习4.3 85

4.4 广义积分 85

练习4.4 88

4.5 定积分在几何中的应用 88

4.5.1 平面图形的面积 89

4.5.2 旋转体的体积 92

练习4.5 93

4.6 定积分在物理中的应用 94

4.6.1 变力沿直线所做的功 94

4.6.2 水的压力 96

练习4.6 97

综合练习4 98

第5章 多元函数的微积分及其应用 100

5.1 空间直角坐标系 100

5.1.1 空间直角坐标系 100

5.1.2 空间两点间的距离 102

5.1.3 二次曲面简介 103

练习5.1 106

5.2 二元函数的极限与连续性 106

5.2.1 二元函数 106

5.2.2 二元函数的极限与连续 109

练习5.2 109

5.3 偏导数与全微分 110

5.3.1 偏导数的概念 110

5.3.2 偏导数的求导法则 111

5.3.3 高阶偏导数 112

5.3.4 全微分 113

练习5.3 115

5.4 偏导数的应用 115

5.4.1 多元函数的极值及最大值、最小值 115

5.4.2 条件极值 118

5.4.3 拉格朗日乘数法 119

练习5.4 120

5.5 二重积分及其计算 121

5.5.1 二重积分的定义 121

5.5.2 二重积分的性质 123

5.5.3 利用直角坐标计算二重积分 123

5.5.4 利用极坐标计算二重积分 126

练习5.5 128

综合练习5 129

附录 简易积分表 131

习题参考答案 139

参考文献 146