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第1章 多项式理论 1

1.1 内容概述 1

1.1.1 一元多项式环 1

1.1.2 整除性理论 1

1.1.3 最大公因式与互素 2

1.1.4 因式分解的理论 2

1.1.5 根的理论 3

1.1.6 多元多项式 3

1.2 一元多项式重点题型及解题方法 4

1.2.1 由条件从定义出发的解题方法 4

1.2.2 比较系数法 6

1.2.3 代值法 7

1.2.4 利用定理证明 8

1.2.5 有关整系数多项式的问题 10

1.2.6 有关多项式整除的问题 15

1.2.7 有关多项式最大公因式与多项式不可约的问题 20

1.2.8 有关多项式互素的问题 24

1.2.9 有关多项式根的问题 25

1.3 多元多项式重点题型与解题方法 29

1.3.1 用初等对称多项式表示对称多项式的三种方法 29

1.3.2 有关对称多项式的证明题 31

第2章 行列式 34

2.1 内容概述 34

2.1.1 排 列 34

2.1.2 行列式 34

2.2 重点题型与解题方法 36

2.2.1 利用行列式定义的证明与计算 36

2.2.2 依行列展开计算行列式 38

2.2.3 化为上（下）三角形计算行列式 40

2.2.4 降阶法 46

2.2.5 分行（列）相加法 50

2.2.6 加边法 52

2.2.7 数学归纳法 53

2.2.8 递推公式法 54

2.2.9 折成行列式之积 56

2.2.10 利用多项式理论计算行列式 58

2.2.11 利用矩阵理论计算行列式 60

2.2.12 与范德蒙行列式有关的计算 63

2.2.13 n阶循环行列式的计算方法 69

2.2.14 利用组合公式计算行列式 71

2.2.15 与代数余子式有关的行列式的计算 72

第3章 矩 阵 75

3.1 内容概述 75

3.1.1 矩阵的运算 75

3.1.2 特殊矩阵 75

3.1.3 伴随矩阵、逆矩阵、矩阵方程、初等变换、初等矩阵 76

3.1.4 矩阵A的秩 77

3.2 重点题型与解题方法 78

3.2.1 求满足一定条件的矩阵的计算题及验证题 78

3.2.2 矩阵方幂的求解 81

3.2.3 矩阵可逆性的证明及逆矩阵的求法 84

3.2.4 矩阵的秩及相关问题的计算和证明 90

3.2.5 有关分块矩阵的计算与证明 95

3.2.6 与方阵A的伴随矩阵A有关的计算与证明 100

3.2.7 求解矩阵方程 103

第4章 线性方程组 109

4.1 内容提要 109

4.1.1 有解的判别法与解的个数 109

4.1.2 线性方程组的解的结构 109

4.1.3 带参数的线性方程组的求解 110

4.2 重点题型与解题方法 110

4.2.1 利用克莱姆法则解线性方程组 110

4.2.2 线性方程组有解的判定 112

4.2.3 线性方程组解的结构及有关的问题 114

4.2.4 含参数的线性方程组的求解 117

4.2.5 有关基础解系的证明 123

4.2.6 线性方程组的同解 126

4.2.7 线性方程组的公共解 129

4.2.8 综合题 131

第5章 向量空间 135

5.1 内容提要 135

5.1.1 向量空间、子空间 135

5.1.2 线性相关性 135

5.1.3 基与维数 136

5.1.4 坐 标 136

5.1.5 向量空间的同构 136

5.2 重点题型与解题方法 137

5.2.1 判断是否为向量空间或子空间 137

5.2.2 线性相关性的有关证明 138

5.2.3 有关基与维数的问题 140

5.2.4 有关过渡矩阵的问题 143

5.2.5 有关子空间的相关问题 144

5.2.6 有关同构的问题 149

第6章 线性变换 151

6.1 内容提要 151

6.1.1 线性映射、线性变换 151

6.1.2 线性变换和矩阵的关系 151

6.1.3 特征值与特征向量 152

6.1.4 线性变换与矩阵在相似关系之下的对角化问题 152

6.2 重要题型与解题方法 153

6.2.1 线性变换的判定与证明 153

6.2.2 求线性变换关于指定基的矩阵及矩阵相似对角化问题 155

6.2.3 线性变换与矩阵问题的相互转化 163

6.2.4 线性变换的象与核 165

6.2.5 与线性变换有关的直和问题 169

6.2.6 有关特征多项式与特征值等问题 174

6.2.7 哈密尔顿-凯莱定理的应用 185

6.2.8 综合题 187

第7章 欧氏空间及其线性变换 189

7.1 内容提要 189

7.1.1 欧氏空间及其度量性质 189

7.1.2 标准正交基 189

7.1.3 正交补、正射影 190

7.1.4 欧氏空间的同构 190

7.1.5 正交变换 190

7.1.6 对称变换 191

7.2 重要题型与解题方法 191

7.2.1 有关度量矩阵的问题 191

7.2.2 有关欧氏空间的子空间、维数、基的问题 192

7.2.3 有关线性相关性的问题 195

7.2.4 实对称矩阵的计算及其对角化 196

7.2.5 有关正交变换、正交矩阵的问题 202

7.2.6 有关实对称矩阵及实矩阵的问题 208

第8章 λ矩阵与若当标准形 213

8.1 内容提要 213

8.1.1 λ矩阵及其等价 213

8.1.2 行列式因子、不变因子与初等因子 213

8.1.3 最小多项式与若当标准形 214

8.2 重点题型与解题方法 215

8.2.1 有关λ-矩阵的计算 215

8.2.2 利用若当标准形的证明 223

8.2.3 有关λ矩阵等价 226

8.2.4 有关零化多项式、特征多项式、最小多项式及其关系 227

8.2.5 有关矩阵的相似 231

8.2.6 有关矩阵的分解 236

第9章 二次型 237

9.1 内容提要 237

9.1.1 二次型与它的标准形 237

9.1.2 复、实二次型 237

9.1.3 正定二次型 238

9.2 重要题型与解题方法 239

9.2.1 化二次型为标准形 239

9.2.2 二次型与对称矩阵问题的相互转化 242

9.2.3 实对称矩阵的开方 245

9.2.4 关于正定性问题的判定及证明 246

参考文献 264