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第一篇 一元函数微积分 1

第一章 函数 1

第一节 函数及相关概念 1

一、区间与邻域 1

二、函数的定义 2

三、函数的表示法 2

第二节 函数的特性 3

一、函数的单调性 3

二、函数的奇偶性 4

三、函数的有界性 4

四、函数的周期性 4

第三节 函数的运算 4

一、复合函数 5

二、反函数 5

第四节 初等函数 6

一、基本初等函数 6

二、初等函数 8

三、应用举例 9

练习题一 10

第二章 极限与连续 12

第一节 极限的概念 12

一、数列的极限 12

二、函数的极根 13

三、无穷小与无穷大 16

第二节 极限的运算 17

一、极限的四则运算法则 17

二、无穷小的比较 18

第三节 两个重要极限 19

第四节 函数的连续性 21

一、函数连续的概念 21

二、函数的间断点 22

三、初等函数的连续性 23

四、闭区间上连续函数的性质 24

练习题二 25

第三章 导数与微分 28

第一节 导数概念 28

一、引例 28

二、导数的定义 29

三、导数的几何意义 31

四、可导与连续的关系 31

第二节 求导法则 32

一、导数的四则运算法则 32

二、反函数的求导法则 33

三、高阶导数 34

第三节 复合函数和隐函数求导法测 34

一、复合函数求导法测 34

二、隐函数求导法测 35

三、对数求导法 35

第四节 微分及其应用 36

一、微分的定义 36

二、微分的几何意义 37

三、微分公式和运算法则 37

四、微分在近似计算中的应用 38

练习题三 39

第四章 导数的应用 42

第一节 微分中值定理 42

第二节 洛必达法则 44

一、0/0型未定式的计算 44

二、∞／∞型未定式的计算 44

三、其他类型未定式的计算 45

第三节 导数在研究函数性态中的应用 46

一、函数的单调性 46

二、函数的极值和最值 47

三、曲线的凹凸性和拐点 50

第四节 导数在经济学中的应用 51

一、边际分析 51

二、弹性分析 53

三、最值分析 53

练习题四 54

数学家故事 56

罗尔（Rolle,Michel） 56

拉格朗日（Lagrange,Joseph—Louis） 57

洛必达（L'Hospital） 58

第五章 不定积分 59

第一节 不定积分的概念与性质 59

一、原函数与不定积分的概念 59

二、不定积分的性质和几何意义 60

三、不定积分的直接积分法 61

第二节 不定积分的换元积分法 62

一、第一类换元积分法 63

二、第二类换元积分法 66

第三节 不定积分的分部积分法 68

第四节 有理函数的不定积分 70

练习题五 72

第六章 定积分及其应用 74

第一节 定积分的概念与性质 74

一、定积分的概念 74

二、定积分的性质 77

第二节 微积分基本公式 78

一、变上限的定积分 78

二、牛顿—莱布尼茨公式 79

第三节 定积分的换元积分法与分部积分法 80

一、定积分的换元积分法 80

二、定积分的分部积分法 82

第四节 广义积分 82

第五节 定积分的应用 84

一、定积分的微元法 84

二、定积分在几何中的应用 85

三、定积分在物理中的应用 90

练习题六 92

数学家故事 93

牛顿（Isaac Newton） 93

莱布尼茨（（Gottfried Wilhelm Leibniz） 94

第二篇 概率论与数理统计 96

第七章 随机事件与概率 96

第一节 随机事件及其运算 96

一、随机试验、样本空间与随机事件 96

二、事件间的关系与运算 97

第二节 事件的概率 100

一、概率的统计定义 100

二、古典概型 101

第三节 概率的计算 104

一、条件概率 104

二、概率的乘法公式 104

三、全概率公式 105

四、贝叶斯公式 107

五、事件的独立性 108

第四节 随机变量及其分布 110

一、随机变量的定义 110

二、离散型随机变量的分布 111

三、随机变量的概率分布函数 112

四、连续型随机变量的分布 112

第五节 一维随机变量的数字特征 113

一、随机变量的数学期望 114

二、随机变量的方差 116

三、数学期望和方差的性质 117

第六节 常见的概率分布 117

一、常见的离散型分布 118

二、常见的连续型分布 121

练习题七 127

数学家故事 129

柯尔莫哥洛夫（A.N.Kolmogorov） 129

泊松（Poisson,Simeon—Denis） 129

贝叶斯（Bayes,Thomas） 130

第八章 数理统计简介 131

第一节 数理统计的基本概念 131

一、总体与样本 131

二、统计量与样本数字特征 132

三、样本分布及直方图 133

四、统计量的分布 135

第二节 参数估计 137

一、点估计 138

二、区间估计 139

第三节 假设检验 142

一、假设检验的基本概念与基本思想 142

二、单个正态总体参数的假设检验 144

练习题八 146

第三篇 线性代数 149

第九章 矩阵 149

第一节 矩阵概念及其代数运算 149

一、矩阵概念 149

二、矩阵的代数运算与转置 151

三、矩阵运算的应用举例 155

第二节 n阶矩阵的行列式 156

一、n阶矩阵行列式的概念 157

二、行列式的运算性质 160

第三节 矩阵的秩 162

一、矩阵秩的概念 162

二、矩阵的初等变换 164

第四节 逆矩阵 166

一、逆矩阵的概念与运算性质 166

二、伴随矩阵及其与逆矩阵的关系 166

三、逆矩阵的求法 167

练习题九 169

第十章 线性方程组 171

第一节 克莱姆法则 171

第二节 线性方程组的解法 172

一、线性方程组的矩阵表示 172

二、消元法解线性方程组 173

第三节 n维向量 178

一、n维向量及其运算 178

二、n维向量的线性相关性 179

练习题十 181

数学家故事 183

克莱姆（Cramer,Gabriel） 183

附表1 标准正态分布数值表 184

附表2 泊松分布表 185

附表3 x2分布表 186

附表4 t分布表 189

练习题参考答案 190

练习题一 190

练习题二 190

练习题三 191

练习题四 191

练习题五 192

练习题六 193

练习题七 194

练习题八 194

练习题九 194

练习题十 195

参考文献 198