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第1章 两点边值问题的数值解法 1

1.1 两点边值问题 1

1.1.1 电线上的小鸟 2

1.1.2 化学反应的动力学模型 2

1.2 几种经典方法 2

1.2.1 导数逼近方法（有限差分法） 2

1.2.2 基函数法 3

1.2.3 配置法 5

1.2.4 最小二乘法 6

1.2.5 打靶法 7

1.3 非线性边值问题的数值解法 8

1.4 其他边界条件的处理 10

1.5 变分法 10

练习题 11

第2章 刚性方程组的数值解法 14

2.1 刚性方程组的基本概念 14

2.2 刚性方程组的数值解法 17

2.2.1 隐式Runge-Kuta法（隐式RK法） 17

2.2.2 广义向后差分法 20

练习题 21

第3章 偏微分方程的一般概念 25

3.1 偏微分方程的定义 25

3.2 典型方程的导出 25

3.2.1 弦的振动方程 25

3.2.2 热传导方程 27

3.2.3 理想流体的力学问题 28

3.3 定解问题及其适定性 29

3.4 工程、经济和生物医学中的偏微分方程 33

3.5 二阶线性方程的分类 39

练习题 41

附录 一些著名的常用的偏微分方程 44

第4章 抛物方程的差分格式 45

4.1 预备知识 45

4.1.1 微积分和线性代数基本概念回顾 45

4.1.2 差分方法的基本概念 48

4.2 三种古典差分格式 49

4.2.1 最简显式格式 49

4.2.2 最简隐式格式 51

4.2.3 Richardson格式 55

4.3 稳定性、相容性、收敛性 58

4.3.1 稳定性 58

4.3.2 相容性 61

4.3.3 收敛性 61

4.4 判别稳定性的Fourier分析方法 62

4.4.1 最简显式格式 63

4.4.2 最简隐式格式 64

4.4.3 Richardson格式的稳定性 65

4.5 常系数方程的其他差分格式 66

4.5.1 Crank-Nicolson差分格式 66

4.5.2 加权隐式格式 69

4.5.3 三层显式格式 72

4.5.4 三层隐式格式 76

4.5.5 交替显隐式格式 80

4.5.6 紧差分格式 83

4.6 Richardson外推法 87

4.7 变系数抛物方程的差分格式 87

4.7.1 显式格式 87

4.7.2 紧差分格式 88

4.7.3 Keller盒式格式 88

4.7.4 积分插值方法 89

4.8 初边值问题的边界离散 89

4.8.1 第一类初边值问题 89

4.8.2 第二类或者第三类初边值问题 89

4.9 高维抛物方程 90

4.9.1 一般古典格式 90

4.9.2 Crank-Nicolson格式 91

4.9.3 交替显隐格式 92

练习题 94

第5章 双曲方程的差分方法 99

5.1 一阶常系数双曲方程简介 99

5.2 几种显式差分格式 101

5.2.1 迎风格式 101

5.2.2 Lax格式 104

5.2.3 Lax-Wendroff格式 106

5.2.4 跳蛙格式（Leap-Fog） 111

5.3 Courant条件 115

5.4 几种隐式差分格式 116

5.4.1 最简隐式格式 116

5.4.2 Crank-Nicolson格式 118

5.4.3 Wendroff格式 121

5.4.4 紧差分格式 123

5.5 一阶常系数双曲方程组的差分格式 124

5.5.1 Lax格式 125

5.5.2 Lax-Wendroff格式 125

5.5.3 迎风格式 126

5.5.4 Wendroff格式 127

5.5.5 蛙跳格式 127

5.6 二阶双曲方程的差分格式 127

5.6.1 显式格式 129

5.6.2 隐式格式 132

5.6.3 加权格式 136

5.6.4 紧差分格式 139

5.7 等价方程组的差分格式 140

5.7.1 Lax-Friedrichs格式 140

5.7.2 Lax-Wendroff格式 140

5.7.3 隐式格式 141

5.7.4 Crank-Nicolson格式 141

5.8 双曲方程（组）的边值问题 143

5.9 高维双曲方程（组） 145

5.9.1 二维一阶双曲方程 146

5.9.2 二维一阶双曲方程组 147

5.9.3 二维波动方程的差分格式 149

5.10 变系数双曲方程的差分格式 156

5.10.1 一阶变系数对流方程的差分格式 156

5.10.2 变系数方程组 158

5.10.3 变系数波动方程 159

练习题 159

第6章 对流扩散方程的差分格式 165

6.1 几种差分格式 165

6.1.1 中心差分格式 165

6.1.2 修正中心显式格式 167

6.1.3 迎风格式 169

6.1.4 Samarskii格式 171

6.1.5 Crank-Nicolson格式 171

6.2 特征差分方法 174

6.2.1 线性插值的特征差分格式 175

6.2.2 基于二次插值的特征差分格式 176

6.3 数值耗散和数值色散 176

6.3.1 介绍 176

6.3.2 偏微分方程的耗散与色散 179

6.3.3 差分格式的数值耗散和数值色散 183

练习题 186

第7章 椭圆方程的差分格式 190

7.1 几种差分格式 190

7.1.1 五点差分格式 190

7.1.2 九点格式 192

7.1.3 积分方法的差分格式 196

7.2 椭圆方程的边界离散处理 198

7.2.1 矩形区域 198

7.2.2 一般区域 198

7.3 变系数椭圆方程 201

7.3.1 直接差分方法 201

7.3.2 有限体积法（积分差分方法） 201

7.4 极坐标形式的差分格式 202

7.5 多重网格法 203

练习题 206

第8章 变分问题的近似计算方法 209

8.1 古典变分问题的例子 209

8.2 变分问题的等价问题 211

8.2.1 二次函数的极值问题 211

8.2.2 泛函极值问题中的基本概念和Euler方程 212

8.2.3 泛函极值问题的等价问题 215

8.3 变分问题的数值计算方法 218

8.3.1 Ritz方法 218

8.3.2 Galerkin方法 219

练习题 223

第9章 有限元方法 226

9.1 Lagrange插值函数 226

9.2 微分方程的弱形式 228

9.3 一维问题的有限元方法 233

9.3.1 线性有限元空间 233

9.3.2 有限元方程的生成 235

9.3.3 一维高次有限元 238

9.4 二维有限元方法 240

9.4.1 三角线性有限元方法 240

9.4.2 有限元方法例题 242

9.4.3 有限元方法的实现 245

9.5 二维矩形双线性元 255

9.6 误差估计 260

9.6.1 一维线性有限元的误差估计 260

9.6.2 二维线性有限元的误差估计 263

练习题 264

参考文献 270