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第6章 多变量函数的微分学 1

6.1 多变量函数的极限与连续 1

6.1.1 平面点集 1

6.1.2 二元函数的极限 5

6.1.3 二元函数的连续性 7

6.1.4 多元函数与向量值函数 8

6.2 多变量函数的微分与偏导数 12

6.2.1 二元函数的微分与偏导数 12

6.2.2 高阶偏导数 17

6.2.3 多元函数和向量值函数的微分与偏导数 18

6.3 复合函数的偏导数 22

6.3.1 复合函数偏导数的链式法则 22

6.3.2 复合函数的高阶偏导数 27

6.3.3 一阶微分的形式不变性 28

6.4 隐函数与反函数的微分法 31

6.4.1 隐函数的存在定理与微分法 31

6.4.2 反函数的存在定理与微分法 37

6.5 多元函数的泰勒公式与极值 41

6.5.1 二元函数的泰勒公式 41

6.5.2 多元函数的极值 44

6.5.3 条件极值 49

6.6 空间中的曲线与曲面 56

6.6.1 参数方程表示的空间曲线 56

6.6.2 参数方程表示的空间曲面 59

6.6.3 隐函数表示的曲面及曲线 63

复习 67

第7章 多变量函数的积分学 71

7.1 二重积分 71

7.1.1 二重积分的概念和性质 71

7.1.2 二重积分的累次积分法 75

7.1.3 二重积分的变量代换 81

7.1.4 广义二重积分 91

7.2 三重积分 96

7.2.1 三重积分的概念和性质 96

7.2.2 三重积分的累次积分法 98

7.2.3 三重积分的变量代换 102

7.3 第一型曲线和曲面积分 109

7.3.1 空间曲线的弧长 109

7.3.2 第一型曲线积分 113

7.3.3 曲面的面积 116

7.3.4 第一型曲面积分 119

7.4 重积分、线积分、面积分的应用 124

7.4.1 重心和转动惯量 124

7.4.2 物体的引力 128

7.5 第二型曲线积分与格林公式 131

7.5.1 曲线的定向 131

7.5.2 第二型曲线积分 132

7.5.3 格林公式 136

7.6 第二型曲面积分、高斯公式和斯托克斯公式 143

7.6.1 曲面的定向 143

7.6.2 第二型曲面积分 147

7.6.3 高斯公式 153

7.6.4 斯托克斯公式 155

7.7 场论初步 161

7.7.1 场的概念 162

7.7.2 数量场的梯度 162

7.7.3 向量场的散度 166

7.7.4 向量场的旋度 169

7.7.5 保守场与势函数 171

7.7.6 无源场与向量势 177

7.7.7 哈密顿算符 180

复习 186

第8章 无穷级数 189

8.1 数项级数 190

8.1.1 数项级数的基本概念 190

8.1.2 正项级数敛散性的判别法则 193

8.1.3 一般数项级数的敛散性 200

8.2 函数项级数 214

8.2.1 函数列的收敛 214

8.2.2 函数项级数的收敛性 216

8.2.3 一致收敛级数和函数的性质 222

8.3 幂级数与泰勒级数 229

8.3.1 幂级数的收敛半径 229

8.3.2 幂级数及其和函数的性质 232

8.3.3 函数的泰勒级数展开 235

8.4 级数应用举例 241

复习 248

第9章 含参变量积分 253

9.1 广义积分收敛的判别法则 254

9.1.1 无穷积分收敛的判别法则 254

9.1.2 乘积函数积分收敛的精细判别法则 256

9.1.3 无界函数积分的收敛性 260

9.2 含参变量常义积分 263

9.2.1 含参变量常义积分的性质 264

9.2.2 积分限依赖于参变量的积分 268

9.3 含参变量广义积分 270

9.3.1 一致收敛性及其判别法则 271

9.3.2 一致收敛含参变量广义积分的性质 274

9.4 含参变量积分的应用 281

9.4.1 几个重要的广义积分 281

9.4.2 Γ函数和B函数及其性质 284

9.4.3 Γ函数和B函数的应用 287

复习 290

第10章 傅里叶分析 294

10.1 周期函数的傅里叶级数 295

10.1.1 周期函数、三角函数的正交性 295

10.1.2 周期函数的傅里叶级数展开 297

10.1.3 傅里叶正弦级数与傅里叶余弦级数 304

10.1.4 有限区间上函数的傅里叶级数 305

10.1.5 贝塞尔不等式与巴塞瓦尔等式 311

10.1.6 傅里叶级数的应用 316

10.2 傅里叶积分与傅里叶变换 323

10.2.1 傅里叶积分 323

10.2.2 傅里叶变换的定义 327

10.2.3 傅里叶变换的性质 329

10.2.4 傅里叶变换的应用 332

复习 337

附录 外微分形式 340

参考答案 346

索引 369