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第1章 级数 1

1.1 级数的概念及其性质 1

1.1.1 级数的概念 1

1.1.2 级数的性质 4

习题1.1 5

1.2 数项级数的审敛法 5

1.2.1 正项级数的审敛法 5

1.2.2 交错级数的审敛法 8

1.2.3 任意项级数的敛散性 8

习题1.2 10

1.3 幂级数 10

1.3.1 幂级数的概念 10

1.3.2 幂级数的收敛半径和收敛区间 12

1.3.3 幂级数的运算 13

习题1.3 16

1.4 函数的幂级数展开式 16

1.4.1 泰勒级数和麦克劳林级数 17

1.4.2 函数展开成幂级数 17

1.4.3 幂级数的应用举例 20

习题1.4 22

1.5 傅里叶级数 22

1.5.1 三角级数及三角函数系的正交性 22

1.5.2 周期为2π的周期函数展开成傅里叶级数 24

1.5.3 定义在有限区间上的函数展开成傅里叶级数 28

1.5.4 周期为2l的周期函数展开成傅里叶级数 31

1.5.5 傅里叶级数的指数形式 32

1.5.6 傅里叶级数的应用举例 34

习题1.5 35

数学史话——傅里叶简介 36

第2章 微分方程及其应用 38

2.1 微分方程的概念 38

2.1.1 引例 38

2.1.2 微分方程的定义 39

2.1.3 微分方程的解 40

习题2.1 41

2.2 一阶微分方程 41

2.2.1 可分离变量的微分方程 41

2.2.2 齐次微分方程 43

2.2.3 一阶线性微分方程 45

习题2.2 48

2.3 二阶常系数线性微分方程 49

2.3.1 二阶常系数线性微分方程的解的结构 51

2.3.2 二阶常系数线性齐次微分方程的解法 52

2.3.3 二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 54

习题2.3 58

2.4 微分方程应用举例 58

2.4.1 一阶微分方程应用举例 59

2.4.2 二阶微分方程应用举例 62

习题2.4 63

数学史话——微分方程的发展史 64

第3章 复变函数初步与积分变换 67

3.1 复数 67

3.1.1 复数的概念 67

3.1.2 复数的几何表示 67

3.1.3 复数的四则运算 69

3.1.4 复数的乘幂运算 71

3.1.5 复平面的点集与区域 72

3.1.6 曲线与区域的复数表示 74

习题3.1 76

3.2 复变函数 77

3.2.1 复变函数的概念及其几何表示 77

3.2.2 极限与连续 80

3.2.3 复变函数的导数概念 82

3.2.4 复变函数的导数运算 83

习题3.2 84

3.3 解析函数 84

3.3.1 解析函数的概念 84

3.3.2 复变函数的解析性判定 85

3.3.3 复变初等函数的解析性 87

3.3.4 调和函数 92

习题3.3 94

3.4 傅里叶变换 94

3.4.1 傅里叶变换 95

3.4.2 傅里叶变换存在条件 96

3.4.3 单位阶跃函数 96

3.4.4 单位脉冲函数 97

习题3.4 99

3.5 傅里叶变换的基本性质 99

习题3.5 102

3.6 傅里叶变换在频谱分析中的应用 102

习题3.6 104

3.7 拉普拉斯变换 104

3.7.1 拉普拉斯变换的概念 104

3.7.2 一些常见函数的拉普拉斯变换 106

习题3.7 106

3.8 拉普拉斯变换的性质 107

习题3.8 109

3.9 拉普拉斯逆变换 110

3.9.1 拉普拉斯逆变换的概念 110

3.9.2 拉普拉斯逆变换的求法 110

习题3.9 112

3.10 拉普拉斯变换的应用 112

3.10.1 利用拉普拉斯变换解微分方程 112

3.10.2 线性系统的传递函数 115

习题3.10 117

数学史话——复变函数论的发展简史 117

第4章 矩阵与行列式 121

4.1 矩阵 121

4.1.1 矩阵的概念 121

4.1.2 矩阵的线性运算 123

4.1.3 矩阵的乘法运算 125

4.1.4 矩阵的转置运算 128

习题4.1 129

4.2 行列式 130

4.2.1 二阶和三阶行列式 130

4.2.2 n阶行列式 132

4.2.3 行列式的性质 135

习题4.2 139

4.3 逆矩阵及其求法 140

4.3.1 线性方程组的矩阵表示 140

4.3.2 逆矩阵的概念 141

4.3.3 逆矩阵的存在性及其求法 142

4.3.4 逆矩阵的性质 143

习题4.3 144

4.4 矩阵的秩与初等变换 144

4.4.1 矩阵的秩 144

4.4.2 利用初等变换求矩阵的秩 145

习题4.4 147

4.5 线性方程组 148

4.5.1 克莱姆法则 148

4.5.2 用逆矩阵法解线性方程组 150

4.5.3 用初等变换法解线性方程组 152

4.5.4 线性方程组解的判定 154

习题4.5 158

数学史话——矩阵与行列式的发展史 159

第5章 线性规划初步 162

5.1 线性规划问题及数学模型 162

5.1.1 实际问题线性规划的数学模型的建立 162

5.1.2 数学模型 164

5.1.3 标准形式 165

习题5.1 167

5.2 线性规划问题的解及其性质 168

5.2.1 线性规划问题的解 168

5.2.2 解的性质 168

5.3 线性规划的图解法 168

习题5.3 171

5.4 单纯形法 172

5.4.1 基本概念 172

5.4.2 引例和思路 174

5.4.3 求解步骤 178

习题5.4 182

数学史话——线性规划的发展史 182

第6章 概率与数理统计 184

6.1 随机事件与概率 184

6.1.1 随机事件 185

6.1.2 随机事件的关系与运算 186

6.1.3 事件的频率与概率 188

习题6.1 192

6.2 概率的基本性质与公式 193

6.2.1 概率的基本性质 193

6.2.2 条件概率与乘法公式 194

6.2.3 全概率公式 195

习题6.2 197

6.3 事件的独立性 198

6.3.1 事件的独立性 198

6.3.2 二项概率公式 199

习题6.3 201

6.4 随机变量及其分布 201

6.4.1 随机变量与分布函数 201

6.4.2 离散型随机变量及其分布 203

6.4.3 连续型随机变量及其分布 208

习题6.4 215

6.5 随机变量的数字特征 217

6.5.1 数学期望 217

6.5.2 方差 222

习题6.5 225

6.6 数理统计基础 225

6.6.1 数理统计中的几个概念 226

6.6.2 数理统计中的几个分布 228

习题6.6 230

6.7 参数估计 231

6.7.1 参数的点估计 231

6.7.2 估计量的评价标准 233

6.7.3 参数的区间估计 235

习题6.7 239

6.8 假设检验 240

6.8.1 假设检验的基本概念 240

6.8.2 一个正态总体均值的假设检验 242

6.8.3 一个正态总体方差的假设检验 244

习题6.8 245

数学史话——概率统计的发展史 246

第7章 数学实验 252

7.1 实验一：级数 252

7.1.1 实验内容 252

7.1.2 实验范例 252

习题7.1 257

7.2 实验二：微分方程及其应用 258

7.2.1 实验内容 258

7.2.2 实验范例 258

习题7.2 259

7.3 实验三：复变函数与积分变换 259

7.3.1 实验内容 259

7.3.2 实验范例 260

习题7.3 261

7.4 实验四：矩阵与行列式 262

习题7.4 267

7.5 实验五：线性规划 267

7.5.1 实验内容 267

7.5.2 实验范例 268

习题7.5 269

7.6 实验六：概率统计 270

习题7.6 273

数学史话——数学实验的产生和发展 273

附录1 泊松分布表 276

附录2 标准正态分布表 277

附录3 t分布表 279

附录4 x2分布表 281

附录5 傅里叶变换简表 282

附录6 拉普拉斯变换主要公式表 284

附录7 拉普拉斯变换简表 285

参考答案 288

参考文献 299