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绪论 微积分纵览 1

第1章 函数·极限·连续 4

1.1 函数及其性质 4

1.1.1 函数的概念 4

1.1.2 函数的表示法 6

1.1.3 函数的几种特性 6

1.1.4 反函数与复合函数 8

习题1.1 10

1.2 初等函数 11

1.2.1 基本初等函数 11

1.2.2 初等函数 14

习题1.2 14

1.3 数学建模方法概述 15

习题1.3 16

1.4 极限概念与性质 17

1.4.1 数列的极限 17

1.4.2 函数的极限 19

习题1.4 23

1.5 极限的运算 23

1.5.1 极限运算法则 23

1.5.2 两个重要极限 26

1.5.3 无穷小与无穷大 31

1.5.4 曲线的渐近线 35

习题1.5 36

1.6 函数的连续性 37

1.6.1 连续性概念 37

1.6.2 函数的间断点及其分类 39

1.6.3 初等函数的连续性 40

1.6.4 闭区间上连续函数的性质 41

习题1.6 42

复习题1 43

第2章 导数与微分 46

2.1 导数的概念及其计算 46

2.1.1 导数的概念 46

2.1.2 导数的计算 48

2.1.3 可导、连续和一般极限的关系 54

2.1.4 变化率模型 54

习题2.1 56

2.2 隐函数的导数、二阶导数 57

2.2.1 隐函数的导数 57

2.2.2 二阶导数 59

习题2.2 60

2.3 微分及其在近似计算中的应用 61

2.3.1 线性近似公式 61

2.3.2 微分概念 62

2.3.3 微分的几何意义 63

2.3.4 微分的运算法则 63

习题2.3 64

复习题2 65

第3章 导数的应用 67

3.1 用导数求极限——洛必达法则 67

习题3.1 70

3.2 函数的单调性、极值与最值 70

3.2.1 曲线的切线与函数的单调性 70

3.2.2 函数的极值与最值 73

习题3.2 78

3.3 曲线的凹凸性与函数作图 79

3.3.1 曲线的凹凸性 79

3.3.2 函数作图 81

习题3.3 82

3.4 微分学在经济中的应用 83

3.4.1 常用的经济函数 83

3.4.2 边际分析 85

3.4.3 弹性与弹性分析 86

习题3.4 87

复习题3 87

第4章 不定积分 91

4.1 不定积分的概念与直接积分法 91

4.1.1 原函数与不定积分的概念 91

4.1.2 基本积分公式 93

4.1.3 不定积分的运算性质 93

习题4.1 95

4.2 换元积分法与分部积分法 95

4.2.1 换元积分法 96

4.2.2 分部积分法 102

习题4.2 105

4.3 积分表的使用 105

习题4.3 107

复习题4 107

第5章 定积分及其应用 109

5.1 定积分的概念与性质 109

5.1.1 问题提出 109

5.1.2 定积分概念 111

5.1.3 定积分的性质 113

习题5.1 115

5.2 定积分的计算 115

5.2.1 牛顿-莱布尼茨公式 115

5.2.2 定积分的换元积分法 117

5.2.3 定积分的分部积分法 120

习题5.2 121

5.3 广义积分 121

习题5.3 124

5.4 定积分的应用 124

5.4.1 平面图形的面积 124

5.4.2 微元法 126

5.4.3 平行截面面积为已知的立体的体积 126

5.4.4 定积分在物理上的应用 130

5.4.5 定积分在经济上的应用 132

习题5.4 135

复习题5 135

第6章 多元函数微积分 138

6.1 多元函数的概念及二元函数的极限与连续 139

6.1.1 平面上的点集 139

6.1.2 多元函数的概念 140

6.1.3 二元函数的极限 143

6.1.4 二元函数的连续性 144

习题6.1 145

6.2 偏导数与全微分 146

6.2.1 偏导数的定义及其计算 146

6.2.2 偏导数的几何意义及经济上的应用 148

6.2.3 二阶偏导数 149

6.2.4 全微分及其应用 150

习题6.2 152

6.3 多元复合函数与隐函数的求导法则 153

6.3.1 多元复合函数的求导法则 153

6.3.2 隐函数的求导法则 154

习题6.3 156

6.4 多元函数偏导数的应用 156

6.4.1 多元函数的极值 156

6.4.2 多元函数的最值 158

6.4.3 条件极值和拉格朗日乘数法 160

6.4.4 最小二乘法 163

习题6.4 165

6.5 二重积分的概念与性质 166

6.5.1 从曲边梯形的面积到曲顶柱体的体积 166

6.5.2 二重积分的定义 167

6.5.3 二重积分的性质 168

习题6.5 169

6.6 二重积分的计算及其应用 169

6.6.1 直角坐标系下二重积分的计算 169

6.6.2 极坐标下二重积分的计算 174

6.6.3 二重积分的应用 177

习题6.6 179

复习题6 180

第7章 微分方程 182

7.1 微分方程的基本概念 182

7.1.1 微分方程的定义 182

7.1.2 微分方程的解 184

习题7.1 185

7.2 一阶微分方程 186

7.2.1 可分离变量的微分方程 186

7.2.2 齐次微分方程 187

7.2.3 一阶线性微分方程 189

习题7.2 192

7.3 可降阶的高阶微分方程 193

习题7.3 195

7.4 一阶微分方程应用举例 195

7.5 二阶线性微分方程 200

7.5.1 二阶线性微分方程解的结构 200

7.5.2 二阶常系数齐次线性微分方程的通解求法——特征方程法 201

习题7.5 204

7.6 二阶常系数线性微分方程应用举例 204

复习题7 207

第8章 无穷级数 209

8.1 常数项级数的概念和性质 210

8.1.1 常数项级数的概念 210

8.1.2 收敛级数的基本性质 212

习题8.1 213

8.2 常数项级数的审敛法 214

8.2.1 正项级数及其收敛判别法 214

8.2.2 交错级数及其收敛判别法 219

8.2.3 绝对收敛与条件收敛 219

习题8.2 221

8.3 幂级数 222

8.3.1 函数项级数的概念 222

8.3.2 幂级数的概念及其收敛域 223

8.3.3 幂级数的运算性质与和函数 226

习题8.3 228

8.4 函数的幂级数展开 228

8.4.1 从几何级数谈起 228

8.4.2 泰勒级数 229

8.4.3 函数的泰勒级数展开法 230

8.4.4 幂级数的应用 232

习题8.4 235

8.5 傅里叶级数 235

8.5.1 三角函数系的正交性 236

8.5.2 以2π为周期的函数的傅里叶级数展开 237

8.5.3 奇偶函数的傅里叶级数 239

习题8.5 241

复习题8 241

第9章 数学实验 243

9.1 Mathematica简介 243

9.1.1 Mathematica的启动和运行 243

9.1.2 表达式的输入 246

9.1.3 Mathematica的联机帮助系统 247

9.1.4 数据类型和常数 248

9.1.5 函数 250

9.1.6 常用的符号 252

9.1.7 Mathematica的基本运算 252

9.2 函数作图 256

9.2.1 基本的二维图形 256

9.2.2 图形的样式 261

9.2.3 基本三维图形 261

9.3 微积分的基本操作 264

9.3.1 极限 264

9.3.2 导数与微分 264

9.3.3 计算积分 265

9.3.4 多变量函数的微分 268

9.3.5 多变量函数的积分（重积分） 269

9.4 微分方程的求解 270

附录A 习题答案与提示 272

附录B 高等数学中常用初等数学公式 288

附录C 常用积分公式 292

参考文献 301