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第一章 函数及其应用 1

第一节 函数概述 2

一、常量、变量与增量 2

二、函数的概念 2

三、函数的图像 4

四、函数的一般性质 4

五、基本初等函数 6

六、分段函数、复合函数和初等函数 9

习题1-1 10

第二节 函数的应用 11

【应用1-1】个人所得税问题 11

【应用1-2】银行储蓄问题 12

【应用1-3】住房贷款问题 13

习题1-2 14

阅读材料 中国女数学家王小云成功破译“白宫密码” 15

第二章 极限与连续 17

第一节 函数的极限 18

一、两个常用术语与一组记号 18

二、函数极限的概念 19

三、无穷小与无穷大 22

四、函数极限的运算 23

五、两个重要极限 25

习题2-1 27

第二节 函数的连续性 28

一、函数连续性的概念 28

二、闭区间上连续函数的性质 30

习题2-2 30

阅读材料 人民的数学家——华罗庚 31

第三章 导数、微分及其应用 33

第一节 导数及其运算 34

一、导数的概念 34

二、导数的运算（函数的求导） 38

习题3-1 44

第二节 微分及其运算 45

一、微分的概念 45

二、微分的运算 46

习题3-2 48

第三节 导数与微分的应用 49

【应用3-1】利用导数求极限 49

【应用3-2】导数的运动学意义 50

【应用3-3】函数图像的描绘 50

【应用3-4】最大值、最小值的计算 56

【应用3-5】曲线曲率的计算 57

【应用3-6】弧微分的计算 59

【应用3-7】微分在近似计算中的应用 60

【应用3-8】微分在误差估计中的应用 61

习题3-3 62

阅读材料 我国著名数学家陈景润——“1+2”的选择 65

第四章 积分及其应用 67

第一节 不定积分及其运算 68

一、不定积分的概念 68

二、不定积分的运算 69

习题4-1 75

第二节 定积分及其运算 76

一、定积分的概念 76

二、定积分的运算 79

习题4-2 83

第三节 定积分的应用 85

【应用4-1】平面图形的面积 85

【应用4-2】旋转体的体积 86

【应用4-3】平面曲线的弧长 87

【应用4-4】变力做功问题 88

【应用4-5】液体压力问题 88

【应用4-6】连续函数的均值 89

习题4-3 89

阅读材料 多才多艺的莱布尼兹 91

第五章 常微分方程及其应用 94

第一节 一阶线性微分方程 95

一、微分方程的概念 95

二、一阶线性微分方程的概念及解法 97

习题5-1 100

第二节 二阶线性微分方程 101

一、二阶线性微分方程的概念 101

二、二阶常系数齐次线性微分方程 103

三、二阶常系数非齐次线性微分方程 104

习题5-2 107

第三节 常微分方程的应用 107

【应用5-1】运动轨迹问题 107

【应用5-2】化学反应问题 108

【应用5-3】生产成本问题 108

【应用5-4】动力学问题 109

【应用5-5】电振荡问题 109

习题5-3 110

阅读材料 常微分方程的起源与发展 111

第六章 拉普拉斯变换及其应用 113

第一节 拉普拉斯变换 114

一、拉普拉斯变换的概念与性质 114

二、拉普拉斯变换的逆变换 116

习题6-1 118

第二节 拉普拉斯变换的应用 118

【应用6-1】利用拉氏变换求解常微分方程 118

【应用6-2】利用拉氏变换解常微分方程组 119

【应用6-3】化工应用之连续搅拌反应罐（CSTR）的清洗问题 120

【应用6-4】 自动控制系统中常用的两个函数 121

习题6-2 122

阅读材料 拉普拉斯简介 122

第七章 向量代数与空间解析几何简介 125

第一节 向量代数 126

一、空间直角坐标系 126

二、向量的概念及表示 127

三、向量的运算 129

四、向量的应用 131

【应用7-1】做功问题 131

【应用7-2】面积问题 131

习题7-1 132

第二节 空间解析几何 133

一、平面及其方程 133

二、空间直线方程 135

三、空间二次曲面 137

习题7-2 140

阅读材料 人生几何 几何人生——记著名数学家陈省身 140

第八章 多元函数微积分及其应用 143

第一节 多元函数 144

一、多元函数的概念 144

二、二元函数的极限与连续 145

习题8-1 146

第二节 多元函数微分及其应用 146

一、多元函数的偏导数与全微分 146

二、多元函数微分的应用 150

【应用8-1】空间曲线的切线与法平面 150

【应用8-2】空间曲面的切平面与法线 150

【应用8-3】全微分在增量近似计算中的应用 151

【应用8-4】全微分在函数近似计算中的应用 151

【应用8-5】多元函数的极值 152

【应用8-6】多元函数的最值 153

习题8-2 154

第三节 二重积分及其应用 155

一、二重积分的概念及性质 155

二、二重积分的计算 157

三、二重积分的应用 160

【应用8-7】平面图形的面积 160

【应用8-8】空间立体图形的体积 160

【应用8-9】空间曲面的面积 161

习题8-3 162

阅读材料 数学天才——伽罗华 163

第九章 无穷级数及其应用 165

第一节 常数项级数 166

一、常数项级数的概念及性质 166

二、常数项级数的审敛法 168

习题9-1 170

第二节 幂级数 170

一、幂级数的概念 170

二、幂级数的敛散性 171

三、幂级数的运算 172

四、幂级数的展开 173

习题9-2 174

第三节 傅里叶级数 175

一、傅里叶级数的概念 175

二、傅里叶级数的展开 175

习题9-3 178

第四节 级数的应用 178

【应用9-1】函数的近似计算 178

【应用9-2】定积分的近似计算 179

习题9-4 179

阅读材料 朱熹平——为庞加莱猜想“封顶”的人 180

第十章 行列式、矩阵与线性方程组及其应用 182

第一节 行列式 183

一、行列式的概念 183

二、行列式的性质 185

三、行列式的计算 187

四、克莱姆法则 189

习题10-1 191

第二节 矩阵 192

一、矩阵的概念 192

二、矩阵的运算 194

三、矩阵的秩与矩阵的初等变换 195

四、矩阵的逆 196

习题10-2 198

第三节 线性方程组 199

一、线性方程组的概念及矩阵表示 199

二、线性方程组的解 200

三、线性方程组的求解 202

习题10-3 206

第四节 行列式、矩阵与线性方程组的应用 206

【应用10-1】招投标问题 206

【应用10-2】生产计划问题 207

【应用10-3】建筑工程计算 208

【应用10-4】化工浓度确定 209

【应用10-5】利润最大问题 209

习题10-4 210

阅读材料 一代数学宗师——欧拉（Euler） 211

第十一章 概率统计及其应用 213

第一节 概率及其应用 214

一、随机事件 214

二、概率 216

三、概率的应用 219

【应用11-1】生日问题 219

【应用11-2】会面问题 219

【应用11-3】布丰（Buffon）投针试验 219

【应用11-4】责任追究问题 220

【应用11-5】可靠性问题 220

习题11-1 221

第二节 随机变量及其分布 223

一、随机变量的概念 223

二、离散型随机变量 224

三、连续型随机变量 227

四、随机变量的分布函数 229

五、随机变量的数字特征 231

习题11-2 235

第三节 统计及其应用 237

一、总体、个体、样本及样本统计量 237

二、参数估计 238

三、假设检验 240

习题11-3 242

阅读材料 居高声自远 242

第十二章 数学建模与数学实验 245

第一节 数学建模简介 246

一、数学建模的概念 246

二、数学建模举例 246

三、全国大学生数学建模竞赛 251

第二节 Mathematica软件使用基础 254

一、Mathematica的启动和运行 254

二、数学表达式的输入 256

三、Mathematica的联机帮助系统 256

第三节 数学实验 258

一、函数极限 258

二、导数与微分 259

三、不定积分与定积分 262

四、常微分方程 265

五、向量与空间解析几何 268

六、重积分（多变量函数的积分） 270

七、无穷级数 272

八、线性代数 273

习题 276

阅读材料 钱学森与“钱学森之问” 278

附表 281

附表一 简易积分表 281

附表二 常用函数的拉普拉斯变换表 289

附表三 随机变量分布表 289

参考文献 291