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第一章 空间解析几何与向量代数 1

第一节 空间直角坐标系 1

一、空间直角坐标系 1

二、空间两点间的距离 1

三、空间点坐标 1

第二节 向量及其运算 2

一、向量的概念 2

二、向量的运算 2

第三节 向量的坐标 3

一、向量的坐标 3

二、向量的模与方向余弦的坐标表示式 4

第四节 数量积和向量积 5

一、数量积 5

二、向量积 6

第五节 平面及其方程 7

一、平面的点法式方程 7

二、平面的一般方程 7

三、两平面的夹角 8

四、点到时平面的距离 9

第六节 空间直线及其方程 9

一、空间直线的对称式方程与参数方程 9

二、空间直线的一般方程 10

三、两直线的夹角 10

四、直线与平面的夹角 10

五、杂例 11

第七节 空间曲面与曲线方程 11

一、曲面方程的概念 11

二、旋转曲面 12

三、柱面 13

四、二次曲面 14

习题一 16

第二章 多元函数微分法及其应用 21

第一节 多元函数的基本概念 21

一、区域 21

二、多元函数的概念 22

三、多元函数的极限 23

四、多元函数的连续性 24

第二节 偏导数 26

一、偏导数的定义及其计算法 26

二、高阶偏导数 28

第三节 全微分及其应用 30

一、全微分的定义 30

二、全微分在近似计算中的应用 32

第四节 多元复合函数的求导法则 32

第五节 隐函数的求导公式 36

第六节 偏导数的应用 37

一、空间曲线的切线与法平面 37

二、曲面的切平面与法线 38

第七节 多元函数的极值及其求法 40

一、多元函数的极值及最大值、最小值 40

二、条件极值、拉格朗日乘数法 43

习题二 45

第三章 二重积分 48

第一节 二重积分的概念与性质 48

一、两个引例 48

二、二重积分的定义 49

三、二重积分的性质 50

第二节 二重积分的计算 50

一、直角坐标系下二重积分的计算方法 50

二、极坐标系下二重积分的计算方法 54

第三节 二重积分的应用 56

一、二重积分在几何上的应用 56

二、平面薄板的重心 59

三、平面薄板的转动惯量 60

习题三 61

第四章 曲线积分与曲面积分 63

第一节 对弧长的曲线积分 63

一、对弧长曲线积分的概念与性质 63

二、对弧长曲线积分的计算 64

第二节 对坐标曲线的积分 66

一、对坐标曲线的积分定义和性质 66

二、计算 67

第三节 Green公式 69

一、Green公式 69

二、平面上曲线积分与路径无关的条件 70

习题四 74

第五章 无穷级数 76

第一节 常数项级数的概念和性质 76

一、常数项级数的概念 76

二、收敛级数的基本性质 77

三、级数收敛的必要条件 77

第二节 常数项级数的审敛法 78

一、正项级数及其审敛法 78

二、交错级数及其审敛法 81

三、绝对收敛与条件收敛 82

第三节 幂级数 82

一、函数项级数的概念 82

二、幂级数及其收敛性 82

三、幂级数的运算 85

第四节 函数展开成幂级数 86

一、泰勒级数 86

二、函数展开成幂级数的方法 86

三、函数展开成关于（x—x0）的幂级数 87

第五节 傅里叶级数 87

一、三角级数及三角函数系的正交性 87

二、函数展开成傅里叶级数 89

第六节 一般周期函数的傅里叶级数 91

习题五 92

第六章 常微分方程 96

第一节 微分方程的一般概念 96

一、微分方程的概念 96

二、微分方程的解 97

第二节 一阶微分方程 97

一、可分离变量的微分方程 97

二、一阶线性微分方程 99

第三节 几类特殊的高阶方程 101

一、y(n)=f（x）型 102

二、y″=f（x,y′）型 102

三、y″=f（y,y′）型 102

第四节 二阶线性微分方程 103

一、线性方程解的结构定理 103

二、二阶常系数线性齐次方程的通解 105

三、二阶常系数线性非齐次微分方程的特解 106

习题六 109

第七章 行列式 112

第一节 n阶行列式的定义 112

第二节 行列式的性质 117

第三节 行列式按行（列）展开 122

第四节 克莱姆法则 126

习题七 129

第八章 矩阵 133

第一节 矩阵的概念 133

第二节 矩阵的运算 134

第三节 矩阵的初等行变换 141

第四节 矩阵的逆 144

一、矩阵的逆的概念 144

二、可逆矩阵的判别 145

三、用初等行变换法求逆矩阵 147

第五节 矩阵的秩 150

习题八 151

第九章 线性方程组 156

第一节 向量 156

一、n维向量的概念及运算 156

二、向量的线性相关性 157

第二节 线性方程组有解的判别 162

第三节 线性方程组解的结构 165

一、齐次线性方程组解的结构 165

二、非齐次线性方程组解的结构 169

习题九 173

第十章 随机事件与概率 177

第一节 随机事件 177

一、随机现象与随机事件 177

二、事件间的关系和运算 178

第二节 随机事件的概率 180

一、概率的统计定义 180

二、古典概型 181

三、加法公式 182

第三节 条件概率和全概率公式 184

第四节 事件的独立性 186

本章小结 188

习题十 189

第十一章 随机变量及其数字特征 192

第一节 随机变量 192

一、随机变量的概念 192

二、离散型随机变量 193

三、连续型随机变量 194

第二节 分布函数及随机变量函数的分布 195

一、分布函数的概念 195

二、分布函数的计算 196

三、随机变量函数的分布 197

第三节 几种常见随机变量的分布 199

一、几种常见离散型随机变量的分布 199

二、几种常见连续型随机变量的分布 200

第四节 期望与方差 204

一、数学期望（平均数） 204

二、方差 206

三、期望和方差的性质 207

四、常用分布的期望与方差 207

习题十一 208

第十二章 统计推断 210

第一节 总体、样本、统计量 210

一、总体和样本 210

二、统计量 211

三、样本矩 211

第二节 抽样分布 212

一、x2分布 212

二、t分布 213

三、F分布 214

四、其他结论 215

第三节 参数的点估计 215

一、矩估计法 216

二、最大似然估计法 217

第四节 区间估计 219

一、置信区间与置信度 219

二、数学期望的区间估计 220

三、方差σ2的区间估计 222

第五节 假设检验 222

一、假设检验问题 222

二、假设检验的步骤 223

三、两个重要的概念 224

第六节 正态总体的假设检验问题 224

一、U检验法 224

二、t检验法 226

三、x2检验法 226

习题十二 227

第十三章 拉普拉斯变换 230

第一节 拉普拉斯变换的概念 230

第二节 拉普拉斯变换的基本性质 231

第三节 拉氏逆变换 234

一、有理分式法 234

二、利用留数求拉氏逆变换 235

第四节 卷积与卷积定理 236

第五节 拉普拉斯变换的应用 237

一、解常系数的线性微分方程 237

二、解某些微分积分方程 239

三、线性系统的传递函数 240

习题十三 240

第十四章 数学建模 242

第一节 数学建模简介 242

第二节 数学建模方法示例 245

一、椅子能在不平的地面放稳吗？ 245

二、观看塑像的最佳位置 247

第三节 初等数学方法建模 248

一、有关自然数的几个模型 248

二、状态转移问题 250

三、量纲分析法 253

四、比例与函数建模 258

第四节 数学建模论文基本格式 262

第五节 如何撰写数学建模论文 262

习题答案 265

附录 285

附录1 标准正态分布表 285

附录2 t分布表的上侧临界值表 286

附录3 x2分布的上侧临界值表 287

附录4 F分布临界值表 288

参考文献 293