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第1章 行波解的存在唯一性 1

1.1 行波解的基本性质 1

1.2 波前解的存在性和唯一性 4

1.2.1 问题的转化 4

1.2.2 存在波前解的必要条件 6

1.2.3 初值问题的正解关于参数的单调性 7

1.2.4 结-鞍情形的波前解 9

1.2.5 鞍-鞍情形的波前解 14

1.3 f(u)=u(1-u)(u-a)(0<a<1)时单调与非单调行波解的存在性 16

1.3.1 奇点分析与各种可能的情形 16

1.3.2 c=0的情形 17

1.3.3 c>0时各种可能情形化为统一形式 18

1.3.4 显式解 19

1.3.5 结-鞍与鞍-鞍情形的波前解 20

1.3.6 鞍-焦与鞍-结情形的非单调行波解 21

1.4 退化Fisher方程行波解的存在性 22

1.5 评注 24

习题一 27

第2章 基于最大值原理的比较方法及其应用 30

2.1 最大值原理 30

2.2 嵌入定理，线性问题解的存在唯一性及估计 33

2.2.1 几个函数空间 33

2.2.2 嵌入定理及线性椭圆型方程的边值问题 34

2.2.3 线性抛物型方程的初边值问题 36

2.3 椭圆型方程边值问题的比较方法 37

2.3.1 上、下解与比较方法 37

2.3.2 二阶线性椭圆算子的特征值问题 40

2.3.3 应用——一个平衡解的分叉问题 53

2.4 抛物型方程初边值问题的比较方法 56

2.4.1 抛物型方程初边值问题的比较原理 56

2.4.2 上、下解方法——初边值问题解的存在唯一性 57

2.4.3 爆炸现象 63

2.5 抛物型方程初值问题的比较方法 68

2.5.1 初值问题的比较原理 69

2.5.2 上、下解与初值问题解的存在唯一性 69

2.6 评注 70

习题二 72

第3章 平衡解的稳定性 76

3.1 平衡解与稳定性概念 76

3.2 初边值问题平衡解的稳定性 78

3.2.1 基于第一特征值与第一特征函数的稳定性判别法 78

3.2.2 基于单调序列的稳定性判别法 82

3.3 初值问题常数平衡解的稳定性 86

3.3.1 基本引理 86

3.3.2 常数平衡解的？稳定性 91

3.3.3 常数平衡解（逐点收敛意义下）的稳定性 92

3.4 方程组初边值问题常数平衡解的稳定性 98

3.5 评注 103

习题三 104

第4章 抛物型方程组和椭圆型方程组的比较方法及其应用 106

4.1 概述 106

4.2 拟单调增加和拟单调减少情形的比较方法 109

4.2.1 上、下解的定义与迭代格式 109

4.2.2 抛物型方程组的比较原理 112

4.2.3 抛物型方程组初边值问题解的存在唯一性与椭圆型方程组边值问题解的存在性 116

4.2.4 抛物型方程组的上、下解方法 118

4.3 混拟单调情形的比较方法 119

4.4 非拟单调的情形 123

4.5 上、下解的构造 127

4.5.1 常数上、下解 127

4.5.2 转化为求解偏微分方程式 128

4.5.3 利用第一特征值和对应的特征函数求上、下解 129

4.5.4 利用常微分方程组的解作上、下解 129

4.6 非常数平衡解的稳定性 132

4.7 评注 134

习题四 137

第5章 不变区域及其应用 141

5.1 反应扩散方程组的不变矩形 141

5.2 反应扩散方程组的不变区域 145

5.3 比较定理，t→∞时解的渐近行为 154

5.4 反应扩散方程的局部解和整体解 159

5.5 评注 162

习题五 163

第6章 平衡解的存在性与分叉问题——度理论的应用 164

6.1 度的定义 164

6.1.1 有限维空间中的Brouwer度 164

6.1.2 Banach空间中的Leray-Schauder度 168

6.2 度的性质 170

6.3 Leray-Schauder度的计算 175

6.3.1 Schauder不动点定理 176

6.3.2 奇算子的度 176

6.3.3 线性紧算子的奇点指数 177

6.3.4 可导紧算子的奇点指数 178

6.3.5 渐近线性紧算子的奇点指数 181

6.4 度理论的应用——半线性椭圆型方程边值问题解的存在性 182

6.5 度理论的应用——多解问题 183

6.5.1 Banach空间中紧算子方程的多解问题 183

6.5.2 利用严格上、下解构造凸集 185

6.5.3 椭圆型方程组的多解问题——存在严格上、下解的情形 187

6.5.4 椭圆型方程的多解问题——极小解与极大解不等的情形 191

6.6 度理论的应用——分叉问题 194

6.6.1 局部分叉的一般结论 194

6.6.2 一个常微分方程的分叉问题 195

6.6.3 一个偏微分方程的分叉问题 204

6.6.4 全局分叉的一般结论 206

6.7 评注 207

习题六 212

第7章 平衡解的存在性与分叉问题——相图法 216

7.1 一般原理 216

7.2 时间函数是单调的情形 219

7.3 时间函数是非单调的情形 223

7.4 评注 229

习题七 230

第8章 非线性方程初值问题——半群理论及应用 234

8.1 线性齐次方程的初值问题与C0半群 234

8.2 线性算子是C0半群的无穷小生成元的充要条件 241

8.3 C0半群对应的线性与非线性方程的初值问题 245

8.3.1 线性齐次与非齐次方程的初值问题 245

8.3.2 非线性方程初值问题 246

8.3.3 应用：二阶非线性波方程的初值问题 250

8.4 解析半群与扇形算子 253

8.4.1 解析半群与初值问题的解 253

8.4.2 可微半群与解析半群的性质 254

8.4.3 扇形算子 257

8.4.4 由扇形算子确定解析半群 262

8.5 解析半群对应的线性方程的初值问题 267

8.6 分数幂算子与分数幂空间 270

8.6.1 概述 270

8.6.2 分数幂算子的定义与例子 273

8.6.3 分数幂算子的性质 275

8.6.4 几个估计式 280

8.6.5 分数幂空间与图范数 283

8.7 非线性方程的初值问题 286

8.7.1 带奇性的Gronwall不等式 287

8.7.2 与初值问题等价的积分方程 288

8.7.3 解的局部存在性和唯一性 289

8.7.4 解的延拓 290

8.7.5 解的紧性 291

8.7.6 解的连续性和可微性 292

8.7.7 微分方程的光滑作用 295

8.8 应用与例子 298

8.8.1 由微分算子所确定的扇形算子 298

8.8.2 由微分算子所确定的分数幂空间 302

8.8.3 一个例子 304

8.9 评注 306

习题八 309

第9章 平衡解的稳定性——动力系统的理论及应用 314

9.1 动力系统 314

9.2 Lyapunov函数与稳定性判别准则 316

9.3 动力系统的极限性质与不变性原理 318

9.3.1 极限集 318

9.3.2 极限集与Lyapunov函数的关系，动力系统的极限性质 320

9.3.3 关于不稳定性的一个结论 321

9.4 自治方程与Lyapunov函数 322

9.4.1 Lyapunov函数与解的全局存在性 322

9.4.2 Lyapunov函数与解的稳定性 323

9.4.3 例子 324

9.4.4 关于渐近稳定性的逆定理 332

9.5 渐近自治方程 336

9.6 判断稳定性的线性近似方法 338

9.6.1 线性方程的稳定性 338

9.6.2 按线性近似方程确定稳定性 340

9.7 稳定性问题的若干例子 348

习题九 359

第10章 行波解的稳定性基本理论及谱方法的应用 362

10.1 行波解的几种稳定性定义 362

10.2 行波解的渐近稳定性理论 363

10.3 双稳态方程及广义Fisher方程波前解的渐近稳定性 371

10.3.1 双稳态方程波前解的渐近稳定性 371

10.3.2 广义Fisher方程波前解在加权空间中的稳定性 375

10.4 退化Fisher方程波前解的渐近稳定性 381

10.5 评注 386

习题十 389

附录 常微分方程准备知识 391

1 基本定理 391

1.1 初值问题解的存在性与唯一性 391

1.2 解的延拓 392

1.3 解的连续性与可微性 392

1.4 线性方程 394

2 常微分方程的比较原理 397

2.1 方程式的最大解与最小解 397

2.2 微分不等式与微分方程式的解的比较 398

2.3 方程组解的模估计 399

2.4 方程组的比较原理 399

3 自治系统的一般性质 400

3.1 相空间与相轨线 400

3.2 自治系统轨线的简单性质 400

3.3 自治系统的解确定一个动力系统 401

3.4 轨线的分类 401

3.5 不变集与解的不变性 402

4 平面自治系统的平衡点 402

4.1 概述 402

4.2 二维常系数线性方程的标准化 404

4.3 标准化方程的简单平衡点 405

4.4 线性常系数系统的简单平衡点 407

4.5 非线性系统的平衡点 408

5 二阶保守系统及其相图分析 412

5.1 相轨线的普遍性质 413

5.2 平衡点邻域的相图 413

5.3 整个相平面上的轨线 414

6 平面自治系统的周期解与极限集 417

6.1 概述 417

6.2 判别闭轨不存在的准则 419

6.3 极限集的一般性质 419

6.4 无切线段及其性质 420

6.5 Poincaré-Bendixson定理 420

6.6 Poincaré-Bendixson定理的应用 421

7 生态方程 421

7.1 捕食方程 422

7.2 竞争方程 424

7.3 一个互助型方程 426

8 n维非线性系统平衡点的稳定性 427

8.1 稳定性概念 427

8.2 Lyapunov函数 429

8.3 判别稳定性的Lyapunov方法 431

8.4 常系数线性系统的稳定性 432

8.5 判别稳定性的线性化方法 433

习题 433

参考文献 437

《现代数学基础丛书》已出版书目 446