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第七章 向量代数与空间解析几何 1

第一节 空间直角坐标系 1

习题7-1 4

第二节 向量及其线性运算 5

一 向量概念 5

二 向量的线性运算 6

三 向量的坐标 8

四 向量的方向角与方向余弦 11

五 二向量间的夹角 12

习题7-2 13

第三节 向量的数量积与向量积 13

一 向量的数量积 13

二 向量的向量积 16

三 向量的混合积 18

习题7-3 20

第四节 平面的方程 21

一 曲面与方程的概念 21

二 平面的点法式方程 22

三 平面的一般式方程 23

四 两平面的夹角 26

五 点到平面的距离 27

习题7-4 28

第五节 空间直线的方程 29

一 空间直线的一般方程 29

二 空间直线的参数方程与点向式方程 30

三 两直线的位置关系 33

四 直线与平面的位置关系 34

五 平面束 36

习题7-5 38

第六节 常见曲面的方程 39

一 柱面 39

二 旋转曲面 40

三 二次曲面 43

习题7-6 49

第七节 空间曲线 49

一 空间曲线的方程 49

二 空间曲线在坐标面上的投影 50

三 一元向量值函数 54

四 空间曲线的切线与法平面 56

五 空间曲线的弧长 58

习题7-7 59

复习题七 60

第八章 多元函数微分学及其应用 62

第一节 多元函数的基本概念 62

一 平面点集与n维空间 62

二 多元函数概念 65

三 多元函数的极限 66

四 多元函数的连续性 69

习题8-1 70

第二节 多元函数的偏导数与全微分 71

一 偏导数的概念 71

二 高阶偏导数 74

三 多元函数的全微分 78

习题8-2 83

第三节 多元函数微分法 84

一 复合函数的求导法则 84

二 全微分形式的不变性 87

三 由一个方程确定的隐函数的微分法 88

四 由方程组确定的隐函数的微分法 92

习题8-3 96

第四节 方向导数与梯度 97

一 方向导数 97

二 梯度 100

习题8-4 101

第五节 多元函数微分学的几何应用 101

一 曲面的切平面与法线 101

二 面交式曲线的切线与法平面 106

习题8-5 108

第六节 多元函数的泰勒公式与极值 109

一 多元函数的泰勒公式 109

二 多元函数的极值 111

三 条件极值 116

习题8-6 120

复习题八 121

第九章 重积分 124

第一节 二重积分的概念与性质 124

一 二重积分的概念 124

二 二重积分的性质 127

习题9-1 129

第二节 二重积分的计算 129

一 直角坐标系中二重积分的计算方法 130

二 二重积分的变量代换 137

习题9-2 142

第三节 三重积分 144

一 三重积分的概念 144

二 直角坐标下三重积分的计算 146

三 三重积分的变量代换 151

习题9-3 159

第四节 重积分的应用 161

一 曲面的面积 161

二 物体的质心 164

三 物体的转动惯量 167

四 物体间的引力 169

习题9-4 170

第五节 含参变量的积分 171

一 含参量的正常积分 171

二 含参量的反常积分 175

习题9-5 179

复习题九 179

第十章 曲线积分与曲面积分 182

第一节 第一类曲线积分 182

一 第一类曲线积分的概念及性质 182

二 第一类曲线积分的计算 185

习题10-1 188

第二节 第二类曲线积分 189

一 向量场与有向曲线的概念 189

二 第二类曲线积分的概念及性质 190

三 第二类曲线积分的计算 193

四 两类曲线积分之间的联系 197

习题10-2 199

第三节 格林公式及其应用 200

一 格林公式 200

二 平面曲线积分与路径无关的条件 206

三 全微分方程 212

习题10-3 212

第四节 第一类曲面积分 214

一 第一类曲面积分的概念 214

二 第一类曲面积分的计算 216

习题10-4 220

第五节 第二类曲面积分 221

一 曲面的侧与有向曲面 221

二 第二类曲面积分的概念 222

三 第二类曲面积分的计算 225

四 两类曲面积分之间的联系 229

习题10-5 231

第六节 高斯公式与散度 232

一 高斯公式 232

二 沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 236

三 向量场的散度 238

习题10-6 241

第七节 斯托克斯公式与旋度 242

一 斯托克斯公式 242

二 空间曲线积分与路径无关的条件 246

三 向量场的旋度 248

习题10-7 251

复习题十 252

第十一章 级数 255

第一节 数项级数的基本概念 255

一 数项级数及其收敛性 255

二 收敛级数的性质 257

三 柯西收敛准则 261

习题11-1 262

第二节 正项级数敛散性判别法 262

一 基本定理 262

二 比较判别法 263

三 比值判别法 266

四 根值判别法 268

五 积分判别法 269

习题11-2 270

第三节 一般项级数敛散性判别法 271

一 交错级数 271

二 绝对收敛与条件收敛 273

三 绝对收敛级数的性质 274

四 阿贝尔判别法与狄利克雷判别法 277

习题11-3 278

第四节 幂级数 278

一 函数项级数的基本概念 278

二 幂级数的收敛域 279

三 幂级数的性质 284

习题11-4 288

第五节 函数的幂级数展开 288

一 泰勒级数 288

二 函数展开成幂级数 290

习题11-5 297

第六节 函数项级数的一致收敛性 297

一 一致收敛性的概念及判别法 297

二 一致收敛级数的性质 303

习题11-6 305

第七节 傅里叶级数 306

一 三角函数系的正交性 306

二 傅里叶级数 307

三 正弦级数与余弦级数 312

四 周期为21的函数的傅里叶级数 316

习题11-7 319

复习题十一 320

附录 二阶与三阶行列式简介 324

习题答案与提示 326

参考文献 344