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第1章 数与数系 1

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1.1 数与集合 2

1.1.1 数的扩展及运算 2

1.1.2 数系 3

1.1.3 集合 7

1.1.4 数学归纳法原理 10

1.2 有理数的可数性和连续统的不可数性 11

1.3 Mathematica 5.0软件简介 14

1.3.1 Mathematica 5.0界面介绍 14

1.3.2 Mathematica 5.0的基本使用 15

习题1 20

本章历史人物：毕达哥拉斯 20

观察与思考：回文数 21

第2章 函数的极限与连续 22

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2.1 变化与函数 23

2.1.1 对变化的描述 23

2.1.2 函数的定义 24

2.2 函数的形态 26

2.2.1 函数的增减性 26

2.2.2 函数的极值和凹凸性 27

2.2.3 函数的对称性、最值 28

2.3 基本初等函数和初等函数 28

2.3.1 基本初等函数 28

2.3.2 初等函数 33

2.4 函数的极限 34

2.4.1 离散变量函数的极限 34

2.4.2 连续变量函数的极限 36

2.4.3 两个重要极限 40

2.4.4 无穷小量与无穷大量 41

2.5 函数的连续性 42

2.6 应用Mathematica 5.0软件求极限 43

习题2 46

本章历史人物：魏尔斯特拉斯 46

观察与思考：洛希极限 47

第3章 差分与导数 49

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3.1 离散变量函数的差分 49

3.1.1 变化的表征——序列的差分 49

3.1.2 变化的速度——二阶差分 51

3.1.3 高阶差分 54

3.1.4 变化形态的判断——差分的应用 55

3.2 连续变量函数的导数 58

3.2.1 连续变量函数导数的定义 58

3.2.2 导数的计算 62

3.2.3 微分的定义 63

3.2.4 连续变量函数的高阶导数 65

3.3 导数的应用 66

3.3.1 中值定理 66

3.3.2 函数的单调性 68

3.3.3 函数的极值 69

3.3.4 函数的凹向与拐点 74

3.4 应用Mathematica软件计算导数 75

3.4.1 初等函数的导数 75

3.4.2 隐函数的导数 76

3.4.3 求高阶导数 76

3.4.4 求函数的微分 77

习题3 78

本章历史人物：欧拉 80

观察与思考：存储模型 80

第4章 积分的概念 82

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4.1 不定积分 82

4.2 定积分 84

4.2.1 定积分的概念及性质 86

4.2.2 微元法 89

4.2.3 微积分基本公式 91

4.3 积分的应用 93

4.3.1 已知曲线斜率求原方程 93

4.3.2 求平面图形的面积 93

4.3.3 求函数的平均值 94

4.4 应用Mathematica 5.0软件计算积分 95

习题4 98

本章历史人物：牛顿 100

观察与思考：求定积分的另一种方法——梯形法 100

第5章 微分方程 102

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5.1 微分方程的定义及示例 102

5.2 微分方程的分类 104

5.3 微分方程的解 105

5.4 一阶线性微分方程 106

5.5 微分方程建模 109

5.5.1 数学建模的一般方法 109

5.5.2 微分方程建模的示例 110

5.6 应用Mathematica 5.0软件求解微分方程 114

习题5 117

本章历史人物：柯西 118

观察与思考：这些受害者死了多久？ 119

第6章 级数 120

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6.1 常数项级数 120

6.1.1 常数项级数的概念 120

6.1.2 常数项级数的性质 122

6.2 常数项级数的判敛法 124

6.2.1 正项级数 124

6.2.2 交错级数 127

6.2.3 绝对收敛 127

6.2.4 利用级数理论解决齐诺悖论问题 129

6.3 幂级数及其展开 130

6.3.1 幂级数 131

6.3.2 幂级数的展开 134

6.3.3 泰勒公式 136

6.4 傅里叶级数初步 138

6.5 利用Mathematica 5.0软件进行级数运算 140

6.5.1 无穷级数求和 140

6.5.2 将函数展开成幂级数 142

6.5.3 幂级数求导数和求积分的运算 143

习题6 143

本章历史人物：傅里叶 145

观察与思考：螺旋周期（费波纳茨级数）在股票市场的应用 145

第7章 多元微积分 147

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7.1 多元函数的基本概念 147

7.2 多元函数的极限和连续性 148

7.2.1 多元函数的极限 148

7.2.2 多元函数的连续性 150

7.3 多元函数的偏导数和全微分 151

7.3.1 多元函数的偏导数 151

7.3.2 多元函数的高阶偏导数 152

7.3.3 多元函数的全微分 153

7.3.4 多元函数的极大和极小值 154

7.4 多元函数的积分 156

7.4.1 二重积分的概念和性质 156

7.4.2 二重积分在直角坐标系下的计算 160

7.5 应用Mathematica 5.0软件求解多元函数的问题 167

7.5.1 多元函数的偏导数 167

7.5.2 多元函数的全微分 170

7.5.3 求多元函数的重积分 170

习题7 172

本章历史人物：泰勒 173

观察与思考：拉格朗日乘子法 174

第8章 线性代数 175

相关链接：不定方程 175

8.1 应用线性方程组的模型 176

8.1.1 矩阵与向量 176

8.1.2 线性方程组的模型 179

8.2 矩阵 180

8.2.1 矩阵的运算 180

8.2.2 矩阵的初等变换 184

8.2.3 向量的线性相关性 187

8.3 行列式 190

8.3.1 行列式的定义和性质 190

8.3.2 克拉默法则 195

8.4 矩阵的应用 196

8.4.1 求解线性方程组 196

8.4.2 矩阵的特征值和特征向量 204

8.5 线性规划简介 205

8.6 Mathematica 5.0软件在线性代数中的应用 207

8.6.1 利用Mathematica 5.0进行矩阵的运算 207

8.6.2 利用Mathematica 5.0求特征值和特征向量 211

8.6.3 利用Mathematica 5.0求解线性方程组 212

8.6.4 利用Mathematica 5.0软件求解线性规划问题 213

8.7 线性代数模型的示例 215

习题8 217

本章历史人物：雅可比 219

观察与思考：公寓建筑的设计 219

第9章 概率论与数理统计 220

相关链接：用统计学的检验方法来确认噪声标准 220

9.1 概率 221

9.1.1 概率的基本知识 221

9.1.2 古典概型 223

9.1.3 条件概率及乘法公式 224

9.1.4 事件的独立性 225

9.1.5 全概率公式与贝叶斯公式 227

9.1.6 贝努利概型 229

9.2 随机变量及其分布 229

9.2.1 随机变量的有关概念 229

9.2.2 几种重要的离散型随机变量 233

9.2.3 几种重要的连续型随机变量 234

9.2.4 随机变量的数字特征 238

9.3 统计检验 241

9.3.1 基础知识 242

9.3.2 总体参数的点估计 245

9.3.3 总体参数的区间估计 246

9.3.4 常用的统计检验分析法 248

9.4 相关分析与线性回归 251

9.4.1 相关分析 251

9.4.2 一元线性回归 254

9.5 Mathematica 5.0软件在概率与数理统计中的应用 256

9.5.1 用数学软件描述常用分布 256

9.5.2 参数估计 260

9.5.3 单个正态总体均值的假设检验 263

9.5.4 线性回归 266

习题9 267

本章历史人物：费马 270

观察与思考：手机市场的统计与调查 271

附录 常用数表 272

附表1 泊松分布概率值表 272

附表2 标准正态分布函数表 276

附表3 t分布表 278

附表4 x2分布表 279

习题答案 280

习题1答案 280

习题2答案 280

习题3答案 281

习题4答案 285

习题5答案 286

习题6答案 287

习题7答案 289

习题8答案 291

习题9答案 295

参考文献 298