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第1章 复数与复变函数 1

1.1复数 1

1.1.1复数域 1

1.1.2复平面、复数的模与辐角 2

1.1.3复数的乘幂与方根 5

1.1.4共轭复数 6

1.1.5无穷远点与扩充复平面 8

1.2复平面点集 9

1.2.1平面点集 9

1.2.2区域 9

1.2.3 Jordan曲线 10

1.2.4单连通区域与多连通区域 10

1.3复变函数的极限与连续 11

1.3.1复变函数的概念 11

1.3.2复变函数的极限 13

1.3.3复变函数的连续性 15

习题1 16

第2章 解析函数 18

2.1解析函数的概念 18

2.1.1复变函数的导数与微分 18

2.1.2解析函数 20

2.2 C.-R.条件 21

2.3初等函数 24

2.3.1指数函数 24

2.3.2对数函数 26

2.3.3幂函数 27

2.3.4三角函数与双曲函数 29

2.3.5反三角函数与反双曲函数 31

习题2 32

第3章 复变函数的积分 34

3.1复变函数的积分 34

3.1.1复变函数积分的定义 34

3.1.2积分的存在性与计算 35

3.1.3复积分的基本性质 36

3.2 Cauchy积分定理 38

3.2.1单连通区域上的Cauchy积分定理 38

3.2.2多连通区域上的Cauchy积分定理 40

3.3 Cauchy积分公式及其应用 42

3.3.1 Cauchy积分公式 42

3.3.2解析函数的无穷可微性 43

3.3.3 Cauchy不等式与Liouville定理 45

3.3.4 Morera定理 45

3.4解析函数与调和函数的关系 46

习题3 48

第4章 解析函数的级数展开及其应用 51

4.1复级数的概念及基本性质 51

4.1.1复数数列 51

4.1.2复数项级数 52

4.1.3复变函数项级数 53

4.2幂级数 54

4.2.1幂级数收敛圆及收敛半径 54

4.2.2幂级数的性质 56

4.2.3 Taylor级数 57

4.2.4解析函数的唯一性定理 60

4.3双边幂级数表示及其应用 62

4.3.1双边幂级数 62

4.3.2 Laurent级数 62

4.3.3孤立奇点及其分类 66

4.3.4解析函数在无穷远点的性态 69

习题4 70

第5章 留数及其应用 74

5.1留数 74

5.1.1留数的概念 74

5.1.2留数定理 75

5.1.3留数的计算 75

5.1.4无穷远点的留数 77

5.2应用留数计算实积分 79

5.2.1∫2π0R（cosθ，sinθ）dθ型积分 79

5.2.2∫﹢∞﹣∞P（x）Q（x）dx型积分 81

5.2.3∫﹢∞﹣∞P（x）Q（x）eimxdx型积分 82

5.2.4积分路径上有奇点的积分 83

5.3辐角原理及其应用 84

5.3.1对数留数 84

5.3.2辐角原理 85

习题5 87

第6章 共形映射 90

6.1共形映射的概念 90

6.1.1导数的几何意义 90

6.1.2共形映射的概念 92

6.2分式线性映射 94

6.2.1分式线性映射的概念 94

6.2.2分式线性映射的性质 96

6.2.3分式线性映射的应用 98

6.3某些初等函数所构成的共形映射 102

6.3.1幂函数与根式函数 102

6.3.2指数函数与对数函数 104

6.3.3儒可夫斯基函数 107

习题6 109

第7章Fourier变换 111

7.1 Fourier积分 111

7.2 Fourier变换 113

7.2.1 Fourier变换的概念 113

7.2.2 δ函数及其Fourier变换 115

7.2.3 Fourier变换的物理意义——频谱 120

7.3 Fourier变换的性质 121

习题7 127

第8章Laplace变换 132

8.1 Laplace变换的概念 132

8.2 Laplace变换的性质 136

8.3 Laplace变换的逆变换 141

8.4 Laplace变换的应用 142

习题8 145

附录Ⅰ傅氏变换简表 150

附录Ⅱ拉氏变换简表 158

习题答案 164

参考文献 182