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第1章 绪论 1

1.1 非线性水波 2

1.2 非线性解析方法 5

第2章 水波理论模型 7

2.1 水波的控制方程 7

2.2 小振幅波——线性水波 8

2.2.1 水面波形、水粒子速度和压强 9

2.2.2 波长、波速 9

2.2.3 能量、质量传递、动量传递和能量传递 9

2.2.4 波的叠加 10

2.3 有限振幅波——非线性水波 10

2.3.1 斯托克斯波理论 10

2.3.2 椭圆函数波、孤立波 11

2.3.3 KdV方程 12

2.3.4 变形KdV（mKdV）方程 17

2.3.5 Boussinesq方程 17

2.3.6 Benjimin-Ono方程 17

2.3.7 Kadomtsev-Petviashvili（KP）方程 18

2.3.8 Camassa-Holm（CH）方程 18

2.3.9 非线性薛定谔方程 18

2.3.10 微分差分方程 19

第3章 同伦分析方法 21

3.1 同伦分析法简介 21

3.2 同伦－帕德逼近 24

3.3 选择基函数 25

3.3.1 由多项式表达的解 25

3.3.2 由分式表达的解 26

3.4 解的收敛区域可以调节控制 27

3.5 不依赖小参数 29

3.5.1 Duffing方程 29

3.5.2 同伦分析解 29

3.5.3 结果分析 34

3.5.4 弱非线性不稳定性的一个模型 34

3.6 初始猜测解选择程式化 36

3.7 浅水中的一维非线性波 38

3.7.1 数学描述 38

3.7.2 孤立波解 41

3.7.3 结果分析 41

3.7.4 双孤立波解 43

3.8 浅水中的二维非线性波 44

3.8.1 问题描述 44

3.8.2 初始猜测解程式化 46

3.8.3 显式孤立波解 46

3.8.4 结果分析 47

3.9 浅水中的三维非线性波 49

3.9.1 问题描述 49

3.9.2 初始猜测程式化 50

3.9.3 显式孤立波解 51

3.9.4 结果分析 51

3.10 深水中的非线性波 52

3.10.1 深水波波列 53

3.10.2 数学描述 54

3.10.3 周期波群 55

3.10.4 包络孤立波 57

3.10.5 波数k给定时的波形情况 57

第4章 非线性微分－差分方程——同伦分析方法 60

4.1 微分-差分方程——同伦分析方法基本思想 60

4.2 离散的KdV方程 61

4.2.1 由分式表达的解 62

4.2.2 椭圆余弦波解 63

4.2.3 孤立波解 65

4.3 结果分析 66

4.3.1 由分式表达的解 66

4.3.2 椭圆余弦波解 68

4.3.3 孤立波解 69

4.4 应用到求解离散的改进的KdV方程 70

4.4.1 数学描述 70

4.4.2 同伦分析解 72

4.4.3 解的验证 73

4.5 应用到求解Volterra方程 74

4.5.1 数学描述 74

4.5.2 同伦分析解 76

4.5.3 解的验证 78

4.6 应用到求解Lotka-Volterra方程 80

4.6.1 数学描述 80

4.6.2 同伦分析解 82

4.6.3 解的验证 82

4.7 应用到两个变量的Volterra竞争系统 83

4.7.1 数学描述 83

4.7.2 同伦分析解 85

4.7.3 解的验证 85

4.8 本章小结 87

第5章 微分变换法 88

5.1 微分变换法求解不连续孤立波 88

5.1.1 基本理论 88

5.1.2 微分变换－帕德逼近方法 89

5.1.3 数学公式 90

5.1.4 波峰处导数不连续的求解 90

5.1.5 波峰处导数不连续的求解 91

5.1.6 波峰处导数不连续的解 92

5.1.7 波峰处导数连续的解 93

5.1.8 结论 94

5.2 K（2,2）方程 94

5.2.1 紧致孤子解 94

5.2.2 尖波解 96

5.2.3 冲击－尖波解 97

5.2.4 结果分析 97

5.3 K（3,3）方程 99

5.3.1 紧致孤子解 99

5.3.2 冲击－紧致孤子解 101

5.3.3 结论 102

5.4 广义微分变换法求解差分－微分方程 102

5.4.1 微分变换法求解微分－差分方程基本理论 102

5.4.2 离散的Volterra方程 103

5.4.3 离散的Lotka-Volterra方程 104

5.4.4 结果分析 105

5.4.5 离散KdV方程 107

5.4.6 离散mKdV方程 109

5.4.7 分析与结论 112

5.5 本章小结 112

第6章 非线性发展方程的精确波解 113

6.1 微分环上的微分方程求解 113

6.2 微分方程的展开阶次的确定 119

6.2.1 微分阶次及其性质 119

6.2.2 展开阶次的构造算法与实例 120

6.3 非线性方程多波解和相互作用解 127

6.3.1 扩张微分环 127

6.3.2 非线性作用求解和应用到Burgers方程 128

6.3.3 （2+1）维Boussinesq方程 137

6.3.4 不可积（2+1）维KdV方程 141

6.4 （n+1）维Klein-Gordon方程的双行波解 146

6.5 本章小结 150

第7章 微分－差分方程的精确解 151

7.1 微分－差分方程的展开阶次的确定 151

7.1.1 问题提出的背景 151

7.1.2 几个准备命题 152

7.1.3 算法 153

7.1.4 具体算例 154

7.2 离散的Riccati方程法 156

7.2.1 离散Riccati辅助方程算法 157

7.2.2 算法的应用 158

7.2.3 更多的算例及其它们的精确解 161

7.3 离散的椭圆方程法 162

7.3.1 椭圆辅助方程法的步骤 162

7.3.2 算法的应用 163

7.4 离散的射影Riccati方程法 171

7.4.1 算法的描述 171

7.4.2 算例 175

第8章 求解多孤子解的几个直接方法 181

8.1 齐次平衡法 181

8.2 齐次平衡法求解孤立水波的相互作用 182

8.2.1 浅水中的一维非线性波 182

8.2.2 浅水中的弱二维非线性波 187

8.2.3 深水中的非线性波 193

8.3 KP方程约化为Painleve-Ⅱ方程 195

8.3.1 KP方程和Painleve-Ⅱ方程的联系 196

8.3.2 通过Painleve-Ⅱ方程构造KP方程的解 199

8.4 基于Boussinesq方程的KP方程解的直接构造 202

8.4.1 方法概述 203

8.4.2 应用于（2+1）维KP方程 204

8.5 结论与讨论 208

附录 椭圆方程的某些特解和Ricatti方程的通解 209

参考文献 211