偏微分方程数值解讲义PDF电子书下载

第1章 椭圆型偏微分方程的差分方法 1

1.1引言 1

1.2模型问题的差分逼近 5

1.3一般问题的差分逼近 8

1.3.1网格、网格函数及其范数 8

1.3.2 差分格式的构造 10

1.3.3截断误差、相容性、稳定性与收敛性 13

1.3.4边界条件的处理 15

1.4基于最大值原理的误差分析 19

1.4.1最大值原理与差分方程解的存在唯一性 20

1.4.2 比较定理与差分方程的稳定性和误差估计 22

1.5渐近误差分析与外推 25

1.6补充与注记 28

习题1 29

第2章 抛物型偏微分方程的差分方法 32

2.1引言 32

2.2模型问题及其差分逼近 34

2.2.1模型问题的显式格式及其稳定性和收敛性 36

2.2.2模型问题的隐式格式及其稳定性和收敛性 47

2.3一维抛物型偏微分方程的差分逼近 52

2.3.1直接差分离散化方法 52

2.3.2基于半离散化方法的差分格式 56

2.3.3一般边界条件的处理 60

2.3.4耗散与守恒性质 65

2.4高维抛物型偏微分方程的差分逼近 71

2.4.1高维盒形区域上的显式格式和隐式格式 71

2.4.2二维和三维交替方向隐式格式及局部一维格式 74

2.4.3更一般的高维抛物型问题的差分逼近 81

2.5补充与注记 82

习题2 83

第3章 双曲型偏微分方程的差分方法 87

3.1引言 87

3.2一维一阶线性双曲型偏微分方程的差分方法 94

3.2.1特征线与CFL条件 94

3.2.2迎风格式 97

3.2.3Lax-Wendroff格式和Beam-Warming格式 106

3.2.4蛙跳格式 110

3.2.5差分格式的耗散与色散 111

3.2.6初边值问题与边界条件的处理 115

3.3一阶双曲守恒律方程与守恒型格式 119

3.3.1有限体积格式 121

3.3.2初始条件与边界条件的处理 124

3.4对流扩散方程的差分方法 126

3.4.1对流扩散方程的中心显式格式与修正中心显式格式 126

3.4.2对流扩散方程的迎风格式 130

3.4.3对流扩散方程的隐式格式 131

3.4.4对流扩散方程的特征差分格式 132

3.5波动方程的差分方法 136

3.5.1波动方程的显式格式 137

3.5.2波动方程的隐式格式 139

3.5.3变系数波动方程隐式格式的能量不等式和稳定性 140

3.5.4基于等价一阶方程组的差分格式 144

3.5.5交错型蛙跳格式与局部能量守恒性质 146

3.6补充与注记 150

习题3 151

第4章 再论差分方程的相容性、稳定性与收敛性 156

4.1发展方程初边值问题及其差分逼近 156

4.2截断误差与逼近精度的阶，相容性与收敛性 157

4.3稳定性与Lax等价定理 159

4.4稳定性的von Neumann条件和强稳定性 162

4.5修正方程分析 167

4.6能量分析方法 175

习题4 178

第5章 椭圆边值问题的变分形式 182

5.1抽象变分问题 182

5.1.1抽象变分问题 182

5.1.2 Lax-Milgram引理 185

5.2变分形式与弱解 187

5.2.1椭圆边值问题的例子 187

5.2.2 Sobolev空间初步 188

5.2.3椭圆边值问题的变分形式与弱解 193

5.3补充与注记 200

习题5 204

第6章 椭圆边值问题的有限元方法 207

6.1 Galerkin方法与Ritz方法 207

6.2有限元方法 209

6.2.1有限元方法的一个典型例子 209

6.2.2有限元的一般定义 216

6.2.3有限元与有限元空间的例子 219

6.2.4有限元方程与有限元解 226

6.3补充与注记 228

习题6 231

第7章 椭圆边值问题有限元解的误差估计 234

7.1 Céa引理与有限元解的抽象误差估计 234

7.2 Sobolev空间插值理论 236

7.2.1 Sobolev空间的多项式商空间与等价商范数 237

7.2.2仿射等价开集上Sobolev半范数的关系 239

7.2.3 多项式不变算子的误差估计 242

7.2.4有限元函数的反估计 245

7.3多角形区域上二阶问题有限元解的误差估计 247

7.3.1 H1范数意义下的误差估计 249

7.3.2 Aubin-Nische技巧与IL2范数意义下的误差估计 251

7.4非协调性与相容性误差 253

7.4.1第一和第二Strang引理 253

7.4.2 Bramble-Hilbert引理和双线性引理 256

7.4.3 数值积分引起的相容性误差 258

7.5补充与注记 261

习题7 261

第8章 有限元解的误差控制与自适应方法 264

8.1有限元解的后验误差估计 264

8.2后验误差估计子的可靠性与有效性 271

8.3自适应方法 277

8.3.1 h型、p型与h-p型自适应方法 277

8.3.2网格重分布型自适应方法 281

8.4补充与注记 282

习题8 283

部分习题答案和提示 286

符号说明 297

参考文献 299

名词索引 302