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目录 1

1 引论 1

1.1 数值分析的研究对象 1

1.2 误差及有关概念 3

1.2.1 误差的来源 3

1.2.2 误差、误差限和有效数字 4

1.2.3 相对误差和相对误差限 5

1.2.4 相对误差与有效数字的联系 6

1.2.5 和、差、积、商的误差 7

1.2.6 计算机中的舍入误差 8

1.3 数值计算中应注意的一些原则 9

思考题 11

习题 11

2 方程求根的数值方法 13

2.1 引言 13

2.2.1 二分法的基本思想 14

2.2 二分法 14

2.2.2 实现二分法的基本步骤 15

2.3 迭代法 16

2.3.1 简单迭代法 16

2.3.2 迭代法的收敛性 18

2.3.3 误差估计与收敛速度 19

2.4 迭代过程的加速 19

2.4.2 Aitken加速法 20

2.4.1 迭代公式的加工 20

2.4.3 计算实例 21

2.5 Newton迭代法 22

2.5.1 Newton迭代格式 22

2.5.2 Newton法的收敛性 24

2.5.3 初始值的选取 25

2.6 Newton迭代法的几种变形 25

2.6.1 简化Newton法 25

2.6.2 弦割法 26

2.6.3 Newton下山法 28

2.6.4 抛物线法 29

2.7.1 实习要求 30

2.7.2 实习目的 30

2.7.3 实习步骤和内容 30

2.7 计算实习 30

思考题 31

习题 32

3 插值方法 35

3.1 引言 35

3.2 Lagrange插值 38

3.2.1 Lagrange插值公式 38

3.2.2 误差分析 42

3.3 Newton插值 44

3.4 分段插值 47

3.4.1 高次插值的Runge现象 47

3.4.2 分段插值的概念 47

3.5 Hermite插值 48

3.5.1 Hermite插值公式和余项 48

3.4.3 分段低次插值 48

3.5.2 Hermite插值特例 50

3.5.3 分段三次Hermite插值 53

3.6 三次样条插值 53

3.7 数据拟合的最小二乘法 57

3.7.1 问题的提出 57

3.7.2 曲线拟合的最小二乘法 58

3.7.3 实例分析 60

3.8.2 实习目的 63

3.8.3 实习步骤 63

3.8 计算实习 63

3.8.1 实习要求 63

思考题 64

习题 65

4 数值积分与数值微分 69

4.1 引言 69

4.1.1 构造数值积分法的必要性 69

4.1.2 构造的基本思路 70

4.1.3 截断误差与代数精度的概念 72

4.2 基本求积公式 75

4.2.1 插值型求积公式 75

4.2.2 Newton-Cotes公式 77

4.2.3 Newton-Cotes公式的误差 78

4.3 复化求积公式 80

4.3.1 定步长公式 80

4.3.2 变步长公式 83

4.3.3 Romberg算法 86

4.4 Gauss求积公式 88

4.4.1 基本概念 88

4.4.2 Gauss-Legendre公式 89

4.4.3 Gauss公式的稳定性 92

4.5 数值微分 92

4.5.1 中点法和外推法 92

4.5.2 插值型求导公式 94

4.6.3 实习步骤 97

4.6.2 实习目的 97

4.6.1 实习要求 97

4.6 计算实习 97

思考题 98

习题 98

5 线性代数方程组的数值解法 100

5.1 引言 100

5.2 Gauss消去法 101

5.2.1 基本思想 101

5.2.2 基本方法 102

5.2.3 Gauss消去法的矩阵形式 104

5.3 主元消去法 105

5.3.1 列主元消去法 105

5.3.2 全主元消去法 106

5.4 三角分解法 108

5.4.1 Doo1ittle分解法 109

5.4.2 Crout分解法 112

5.4.3 Cholesky分解法 113

5.4.4 追赶法 116

5.5.1 基本思想 119

5.5 迭代法 119

5.5.2 Jacobi迭代法 120

5.5.3 Gauss-Seidel迭代法 122

5.5.4 超松弛迭代法 125

5.5.5 迭代法格式的统一形式 127

5.6 迭代法的收敛条件及误差估计 127

5.6.1 引言 127

5.6.2 收敛条件及误差估计式 129

5.7 计算实习 132

5.6.3 根据A判别迭代法的敛散性 132

思考题 134

习题 135

6 常微分方程的数值解法 137

6.1 引言 137

6.2 Euler方法及其改进 138

6.2.1 Euler法 138

6.2.2 梯形法 139

6.3.1 Taylor展开方法 141

6.3 Runge-Kutta方法 141

6.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想 142

6.3.3 R-K公式的推导 144

6.4 线性多步法 147

6.4.1 线性多步方法的构造 147

6.4.2 线性多步方法的应用 152

6.5 收敛性与稳定性 154

6.5.1 单步法的收敛性 155

6.5.2 单步法的稳定性 157

6.6 一阶方程组与高阶方程 158

6.6.1 一阶方程组 158

6.6.2 高阶微分方程的初值问题 160

6.7 计算实习 161

思考题 162

习题 162

附录算法与程序 164

参考文献 187