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1.1 数值分析研究内容 1

第1章 引论 1

1.2 误差基础知识 2

1.2.1 误差的来源 3

1.2.2 绝对误差和相对误差 4

1.2.3 有效数字 5

1.3 数值计算中应注意的问题 7

1.3.1 防止有效数字的损失 7

1.3.2 减少运算次数 10

1.3.3 选用数值稳定性好的计算公式 11

习题1 13

2.1.1 高斯顺序消去法 15

第2章 解线性代数方程组的直接方法 15

2.1 高斯消去法 15

2.1.2 高斯主元消去法 21

2.2 矩阵的三角分解 22

2.2.1 直接三角分解法 24

2.2.2 平方根法 28

2.2.3 一般非奇异矩阵的三角分解 30

2.2.4 解三对角方程组的追赶法 33

2.3 矩阵的条件数与方程组的性态 36

2.3.1 向量与矩阵的范数 37

2.3.2 扰动方程组的误差界 42

2.3.3 矩阵的条件数与方程组的性态 43

习题2 45

第3章 解线性代数方程组的迭代方法 49

3.1 向量和矩阵序列的极限 49

3.1.1 向量和矩阵序列的极限概念 49

3.1.2 向量序列与矩阵序列收敛的等价性条件 50

3.2 基本迭代法 52

3.2.1 J—迭代法 52

3.2.2 GS—迭代法 53

3.2.3 SOR—迭代法 54

3.2.4 SSOR—迭代法 55

3.3 迭代法的收敛性 57

3.3.1 J—迭代法收敛性判定定理 62

3.3. 2GS—迭代法收敛性判定定理 63

3.3.3 SOR—迭代法收敛性判定定理 64

3.3.4 SSOR—迭代法收敛性判定定理 66

3.4 最速下降法与共轭梯度法 69

3.4.1 最速下降法 70

3.4.2 共轭梯度法 71

习题3 76

第4章 解非线性方程和方程组的迭代法 78

4.1 二分法 79

4.1.1 逐步搜索法 79

4.1.2 二分法 79

4.2 迭代法 80

4.3 加速迭代收敛的方法 87

4.3.1 两个迭代值组合的加速方法 87

4.3.2 三个迭代值组合的加速方法 89

4.4 牛顿迭代法 93

4.4.1 单根情形的牛顿迭代法 93

4.4.2 重根情形的牛顿迭代法 99

4.4.3 牛顿下山法 100

4.5 弦割法与抛物线法 102

4.5.1 弦割法 102

4.5.2 抛物线法 106

4.6 非线性方程组迭代算法 108

4.6.1 实值向量函数的基本概念与性质 109

4.6.2 压缩映射原理与不动点迭代法 112

4.6.3 牛顿迭代法 116

习题4 120

第5章 矩阵特征值与特征向量的数值算法 123

5.1 预备知识 123

5.2 乘幂法 124

5.2.1 主特征值与主特征向量的计算 125

5.2.2 加速收敛技术 130

5.3 反幂法 132

5.4 雅可比方法 134

5.5 QR方法 142

5.5.1 反射矩阵 143

5.5.2 平面旋转矩阵 145

5.5.3 矩阵的QR分解 148

5.5.4 豪斯霍尔德方法 150

5.5.5 QR方法的收敛性 151

5.6 对称三对角矩阵特征值的计算 152

5.6.1 对称三对角矩阵的特征多项式序列及其性质 152

5.6.2 实对称三对角矩阵特征值的计算 156

习题5 158

第6章 函数插值 160

6.1 多项式插值问题 160

6.2.1 拉格朗日插值基函数 163

6.2 拉格朗日插值法 163

6.2.2 拉格朗日插值多项式 164

6.2.3 拉格朗日插值法截断误差及其实用估计 165

6.2.4 拉格朗日反插值法 167

6.3 牛顿插值法 168

6.3.1 差商的概念及性质 168

6.3.2 牛顿插值公式 171

6.3.3 牛顿插值公式的计算 172

6.4 等距节点插值公式 173

6.4.1 差分的概念及运算 173

6.4.2 差分与差商的关系 175

6.4.3 等距节点插值公式 175

6.5 埃尔米特插值公式 177

6.6 分段插值法 184

6.6.1 分段线性插值法 185

6.6.2 分段二次插值法 186

6.6.3 分段三次插值法 188

6.7 样条插值 190

6.7.1 样条插值的基本概念 190

6.7.2 三弯矩插值法 192

6.7.3 三转角插值法 196

6.7.4 样条插值函数的收敛性 199

6.8 B—样条插值 201

6.8.1 m次样条函数空间 201

6.8.2 B—样条基函数 204

6.8.3 B—样条函数性质 205

习题6 208

第7章 函数逼近 212

7.1 内积与正交多项式 212

7.1.1 权函数 212

7.1.2 内积 213

7.1.3 正交性 213

7.1.4 正交多项式的性质 215

7.2 常见正交多项式系 217

7.2.1 勒让德（Legendre）多项式系 217

7.2.2 切比雪夫（Chebyshev）多项式系 219

7.2.3 拉盖尔（Laguerre）多项式系 220

7.2.4 埃尔米特（Hermite）多项式系 222

7.2.5 第二类切比雪夫多项式系 223

7.3 最佳一致逼近 223

7.3.1 最佳一致逼近的概念 223

7.3.2 最佳逼近多项式的存在性 224

7.3.3 最佳逼近多项式的构造 228

7.4 最佳平方逼近 235

7.4.1 最佳平方逼近的概念 236

7.4.2 正交多项式作基函数的最佳平方逼近 240

7.4.3 广义傅里叶级数 242

7.5 曲线拟合的最小二乘法 245

7.5.1 曲线拟合问题及其求解 245

7.5.2 离散Gram矩阵的性质 250

7.5.3 用正交函数系作最小二乘曲线拟合 251

习题7 254

第8章 数值积分与数值微分 256

8.1 数值积分的基本概念 256

8.1.1 数值积分问题的提出 256

8.1.2 数值积分问题解决的思想方法 256

8.1.3 代数精度 258

8.1.4 收敛性与稳定性 259

8.2 插值型求积公式 260

8.3 牛顿—柯特斯公式 264

8.3.1 牛顿—柯特斯公式 264

8.3.2 复化牛顿—柯特斯公式 269

8.3.3 区间逐次分半求积法 270

8.4 龙贝格求积算法 273

8.4.1 理查森外推算法—数值方法中的加速收敛技巧 273

8.4.2 龙贝格求积算法 274

8.4.3 龙贝格求积算法的计算步骤 276

8.5 高斯型求积公式 278

8.5.1 高斯型求积公式的理论 278

8.5.2 高斯—勒让德求积公式 282

8.5.3 高斯—切比雪夫求积公式 285

8.5.4 高斯—拉盖尔求积公式 285

8.5.5 高斯—埃尔米特求积公式 286

8.6 二重积分的求积公式 287

8.7 数值微分 292

8.7.1 插值法 292

8.7.2 泰勒展开法 294

习题8 295

第9章 微分方程初值问题的数值解法 297

9.1 引言 297

9.2 欧拉方法及其改进 299

9.2.1 显式欧拉方法 299

9.2.2 隐式欧拉方法 300

9.2.3 改进欧拉方法 300

9.2.4 单步法的局部截断误差和阶 302

9.3.1 泰勒展开法 304

9.3 龙格—库塔方法 304

9.3.2 龙格—库塔方法 306

9.4 单步法的收敛性、相容性与稳定性 312

9.4.1 收敛性 312

9.4.2 相容性 314

9.4.3 稳定性 315

9.5 线性多步法 318

9.5.1 线性多步法问题 318

9.5.2 线性多步法的构造 321

9.6 线性多步法的相容性、收敛性与稳定性 327

9.6.1 线性多步法与微分方程的相容性 327

9.6.2 线性多步法的收敛性 328

9.6.3 线性多步法的稳定性 331

9.7 高阶微分方程与一阶微分方程组及其刚性问题简介 340

9.8 微分方程边值问题的数值方法 344

9.8.1 打靶法 344

9.8.2 有限差分法 347

9.9 解微分方程的动力迭代法 349

9.9.1 微分方程初值问题的动力迭代法 350

9.9.2 微分方程初值问题动力迭代的收敛性 352

9.9.3 微分方程边值问题的动力迭代法 355

习题9 359

习题参考答案 361

参考文献 372