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第一章 函数的极限与连续 1

第一节 函数 1

一、常量与变量 1

二、区间与邻域 1

三、函数的概念 2

四、函数的表示法 3

五、函数的几种特性 4

六、初等函数 5

习题1-1 7

第二节 微积分研究的两个基本问题 8

一、变速直线运动的瞬时速度 8

二、曲线围成的平面图形的面积 8

第三节 函数的极限 10

一、中国古代学者的极限思想 10

二、数列的极限 10

三、x→∞时函数的极限 11

四、x→x0时函数的极限 12

五、极限的性质 14

习题1-3 15

第四节 无穷小与无穷大 15

一、无穷小 15

二、无穷大 17

习题1-4 18

第五节 极限的运算法则 18

习题1-5 21

第六节 两个重要极限 21

一、极限lim x→0 sinx/x=1 21

二、极限lim x→∞ (1+1/x)x=e 23

习题1-6 24

第七节 函数的连续性 25

一、函数的连续性 25

二、连续函数及其运算 26

三、初等函数的连续性 28

四、函数的间断点 29

五、闭区间上连续函数的性质 30

习题1-7 32

第八节 无穷小的比较 32

习题1-8 34

复习题一 35

第二章 导数与微分 38

第一节 导数的概念 38

一、几个实例 38

二、导数的定义 39

三、求导举例 40

四、导数的几何意义 41

五、可导与连续的关系 42

习题2-1 43

第二节 导数公式与函数的和差积商的导数 44

一、常数和基本初等函数的导数公式 44

二、函数和差积商的导数 44

习题2-2 46

第三节 反函数和复合函数的导数 47

一、反函数的导数 47

二、复合函数的导数 48

习题2-3 50

第四节 隐函数和参数式函数的导数 51

一、隐函数的导数 51

二、参数式函数的导数 53

三、相关变化率 55

习题2-4 56

第五节 高阶导数 57

一、高阶导数的概念 57

二、导数的力学和电学意义 59

习题2-5 60

第六节 微分及其应用 61

一、微分的定义 61

二、微分的几何意义 63

三、常数和基本初等函数的微分公式与微分的运算法则 63

四、微分的应用 66

习题2-6 69

复习题二 70

第三章 微分中值定理和导数的应用 72

第一节 拉格朗日中值定理与函数单调性判定法 72

一、拉格朗日中值定理 72

二、函数单调性的判定 74

习题3-1 76

第二节 函数的极值及判定 77

习题3-2 80

第三节 函数的最大值和最小值 81

习题3-3 84

第四节 曲线的凹凸与拐点 85

习题3-4 88

第五节 函数图形的描绘 88

一、曲线的水平渐近线和垂直渐近线 88

二、函数图像的描绘 90

习题3-5 92

第六节 罗必塔法则 93

习题3-6 97

第七节 曲线弧的微分曲率 97

一、曲线弧的微分 97

二、曲率 98

习题3-7 103

第八节 导数在经济上的应用举例 103

一、经济学中几个常见的函数 103

二、边际与边际分析 104

三、弹性与弹性分析 105

习题3-8 107

复习题三 108

第四章 定积分与不定积分 112

第一节 定积分的概念与性质 112

一、三个实例 112

二、定积分定义 114

三、定积分的几何意义 115

四、定积分的性质 115

习题4-1 118

第二节 原函数与不定积分 118

一、函数的原函数与不定积分 119

二、基本积分公式 120

三、不定积分的基本运算法则 121

习题4-2 122

第三节 微积分基本公式 123

一、积分上限函数及其性质 123

二、微积分基本公式 124

习题4-3 126

第四节 积分的换元法 127

一、不定积分的换元法 127

二、定积分的换元法 132

习题4-4 136

第五节 积分的分部积分法 137

一、不定积分的分部积分法 137

二、定积分的分部积分法 140

习题4-5 141

第六节 积分举例和积分表的使用 142

一、积分举例 142

二、积分表的使用 146

习题4-6 147

第七节 广义积分 148

习题4-7 150

复习题四 150

第五章 定积分的应用 152

第一节 定积分的微元法 152

第二节 定积分在几何上的应用 153

一、平面图形的面积 153

二、旋转体的体积 156

三、平面曲线的弧长 158

习题5-2 160

第三节 定积分在物理上的应用 161

一、变力做功 161

二、液体的压力 163

三、引力 165

四、均匀薄片的质心 165

习题5-3 168

第四节 函数的平均值及其应用 169

习题5-4 171

复习题五 172

第六章 常微分方程 173

第一节 微分方程的基本概念 173

一、实例 173

二、有关概念 174

习题6-1 176

第二节 一阶微分方程 176

一、可分离变量的一阶微分方程 176

二、一阶线性微分方程 179

习题6-2 183

第三节 一阶微分方程的应用举例 184

习题6-3 190

第四节 可降阶的高阶微分方程 191

一、y(n)=f(x)型的微分方程 191

二、y″=f(x,y′)型的微分方程 192

三、y″=f(y,y′)型的微分方程 192

习题6-4 194

第五节 二阶线性微分方程解的结构 194

一、二阶线性齐次微分方程解的结构 194

二、二阶线性非齐次微分方程解的结构 195

习题6-5 196

第六节 二阶常系数线性微分方程的解法 197

一、二阶常系数线性齐次微分方程的解法 197

二、二阶常系数线性非齐次微分方程的解法 199

习题6-6 203

第七节 二阶微分方程的应用举例 204

习题6-7 208

复习题六 209

附录Ⅰ 初等数学中的常用公式 210

一、代数 210

二、三角 211

附录Ⅱ 几种常用的曲线（a>0） 213

附录Ⅲ 积分表 214

一、含有ax+b的积分 214

二、含有？的积分 214

三、含有x2±a2的积分 214

四、含有ax2+b(a>0)的积分 215

五、含有？(a>0)的积分 215

六、含有？(a>0)的积分 215

七、含有？(a>0)的积分 216

八、含有？或？的积分 216

九、含有三角函数的积分 216

十、含有反三角函数的积分（其中a>0） 218

十一、含有指数函数的积分 218

十二、含有对数函数的积分 219

十三、含有双曲函数的积分 219

十四、定积分 219

习题答案 221