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第一部分 高等数学 3

第一章 函数 极限 连续 3

大纲解读 3

考试内容 3

考试要求 3

大纲知识点精解 3

1 函数 3

考点梳理 3

一、基本概念 3

二、重要性质、公式与结论 6

例题解析 7

题型一 求函数的定义域与函数表达式 7

题型二 函数的性质 8

2 极限 10

考点梳理 10

一、基本概念 10

二、重要性质、公式与结论 11

例题解析 14

题型一 求函数极限 14

题型二 求数列极限 19

题型三 无穷小的比较 22

题型四 已知极限或无穷小求待定参数 24

3 函数的连续与间断 26

考点梳理 26

一、基本概念 26

二、重要性质、公式与结论 27

例题解析 27

题型一 初等函数和抽象函数的连续与间断 27

题型二 分段函数的连续性 28

题型三 由极限定义的函数的连续性 29

题型四 连续函数的零点问题 30

题型五 综合题 31

习题精选与预测 33

第二章 一元函数微分学 36

大纲解读 36

考试内容 36

考试要求 36

大纲知识点精解 37

1 导数与微分 37

考点梳理 37

一、基本概念 37

二、重要性质、公式与结论 38

例题解析 38

题型一 利用导数与微分的定义解题 38

题型二 可微、可导、连续与极限的关系 41

题型三 导数的物理、几何应用 41

2 导数的计算 42

考点梳理 42

重要性质、公式与结论 42

例题解析 44

题型一 利用导数公式与运算法则求导 44

题型二 求分段函数导数或微分 45

题型三 幂指函数的导数或微分 46

题型四 由参数方程确定的函数的导数 46

题型五 隐函数求导 47

题型六 求n阶导数 47

3 利用导数研究函数的性态 49

考点梳理 49

一、基本概念 49

二、重要性质、公式与结论 50

例题解析 51

题型一 求曲率与曲率半径 51

题型二 利用导数讨论函数单调性、极值与最值 52

题型三 函数的凹凸性与拐点 53

题型四 求曲线的切线、法线和渐近线 55

题型五 综合题 56

4 微分中值定理、零点问题与不等式证明 58

考点梳理 58

重要性质、公式与结论 58

例题解析 60

题型一 函数零点的存在性与个数问题 60

题型二 证明项中包含ξ，f（ξ），f′（ξ），…的问题 62

题型三 证明项中包含ξ，η，f（ξ），f（η），f′（ξ），f′（η）的问题 65

题型四 不等式证明 66

习题精选与预测 68

第三章 一元函数积分学 74

大纲解读 74

考试内容 74

考试要求 74

大纲知识点精解 74

1 不定积分与定积分的概念与性质 74

考点梳理 74

一、基本概念 74

二、重要性质、公式与结论 75

例题解析 77

2 不定积分与定积分的计算 79

考点梳理 79

重要性质、公式与结论 79

例题解析 81

题型一 有理函数的积分 81

题型二 无理函数的积分 81

题型三 三角函数的积分 82

题型四 乘积的混合式积分 84

题型五 分段函数与绝对值函数的积分 86

题型六 变限积分问题 88

3 反常积分 90

考点梳理 90

一、基本概念 90

二、重要性质、公式与结论 91

例题解析 92

题型一 反常积分的计算 92

题型二 判定反常积分的敛散性 93

4 定积分的应用 95

考点梳理 95

重要性质、公式与结论 95

例题解析 96

题型一 几何应用 96

题型二 物理应用 99

5 定积分的证明 100

例题解析 100

题型一 等式的证明 100

题型二 不等式的证明 101

习题精选与预测 103

第四章 多元函数微积分学 115

大纲解读 115

考试内容 115

考试要求 115

大纲知识点精解 115

1 多元函数的极限与连续性 115

考点梳理 115

一、基本概念 115

二、重要性质、公式与结论 116

例题解析 116

题型一 二元函数的概念 116

题型二 二元函数的极限 117

2 偏导数与全微分 118

考点梳理 118

一、基本概念 118

二、重要性质、公式与结论 119

例题解析 119

题型一 简单的二元函数偏导数与微分计算 119

题型二 二元函数连续、可偏导、可微的关系 121

3 多元函数求导法则 124

考点梳理 124

重要性质、定理与公式 124

例题解析 125

题型一 求复合函数的偏导数与全微分 125

题型二 求隐函数的偏导数与全微分 129

4 多元函数的极值与最值 133

考点梳理 133

一、基本概念 133

二、重要性质、定理与公式 134

例题解析 135

题型一 求解多元函数的无条件极值 135

题型二 求解多元函数的条件极值 138

题型三 求解多元函数的最值 139

5 二重积分 142

考点梳理 142

一、基本概念 142

二、重要性质、公式与结论 142

例题解析 146

题型一 二重积分的概念和性质 146

题型二 直角坐标系和极坐标系下二重积分的计算 146

题型三 二次积分交换积分次序 152

题型四 利用对称性计算二重积分 154

习题精选与预测 157

第五章 微分方程 163

大纲解读 163

考试内容 163

考试要求 163

大纲知识点精解 163

1 一阶微分方程与可降阶的高阶微分方程的解法 163

考点梳理 163

一、基本概念 163

二、重要定理、性质与公式 164

例题解析 165

题型一 变量可分离的方程与齐次方程的求解 165

题型二 一阶线性微分方程 166

题型三 可降阶的高阶微分方程的求解 167

2 高阶线性微分方程 169

考点梳理 169

一、基本概念 169

二、重要定理、性质与公式 169

例题解析 171

题型一 高阶线性微分方程解的结构、性质与判定 171

题型二 求解二阶线性微分方程 172

3 微分方程的应用 173

考点梳理 173

重要定理、性质与公式 173

例题解析 173

习题精选与预测 179

第二部分 线性代数 185

第一章 行列式 185

大纲解读 185

考试内容 185

考试要求 185

大纲知识点精解 185

考点梳理 185

一、基本概念 185

二、重要性质、公式与结论 186

例题解析 188

题型一 行列式的概念及性质 188

题型二 数字型行列式的计算 190

题型三 抽象行列式的计算 194

题型四 有关｜A｜＝0的证明 195

习题精选与预测 195

第二章 矩阵 199

大纲解读 199

考试内容 199

考试要求 199

大纲知识点精解 199

1 矩阵的概念及运算 199

考点梳理 199

一、基本概念 199

二、重要性质、公式与结论 201

2 可逆矩阵与伴随矩阵 202

考点梳理 202

一、基本概念 202

二、重要性质、公式与结论 203

3 矩阵的初等变换 204

考点梳理 204

一、基本概念 204

二、重要性质、公式与结论 204

4 分块矩阵 205

考点梳理 205

一、基本概念 205

二、重要性质、公式与结论 205

例题解析 206

题型一 矩阵的概念及运算 206

题型二 求方阵的幂 207

题型三 矩阵可逆的判定及逆矩阵的计算 209

题型四 伴随矩阵 211

题型五 矩阵的初等变换 213

题型六 分块矩阵 214

题型七 求解矩阵方程 216

习题精选与预测 220

第三章 向量 224

大纲解读 224

考试内容 224

考试要求 224

大纲知识点精解 224

1 向量与向量组的线性相关性 224

考点梳理 224

一、基本概念 224

二、重要定理、性质与公式 225

例题解析 226

题型一 线性相关性的判别与证明 226

题型二 向量与向量组的线性表出 229

2 极大线性无关组与向量组的秩 232

考点梳理 232

一、基本概念 232

二、重要定理、性质与公式 233

例题解析 234

题型一 矩阵的秩 234

题型二 向量组的秩与极大线性无关组 235

题型三 向量组的等价 237

3 内积与施密特正交化 239

考点梳理 239

一、基本概念 239

二、重要定理、性质与公式 240

例题解析 241

习题精选与预测 242

第四章 线性方程组 246

大纲解读 246

考试内容 246

考试要求 246

大纲知识点精解 246

1 齐次线性方程组 246

考点梳理 246

一、基本概念 246

二、重要性质、公式与结论 247

2 非齐次线性方程组 249

考点梳理 249

一、基本概念 249

二、重要性质、公式与结论 249

例题解析 250

题型一 线性方程组解的判定、性质与结构 250

题型二 求解齐次线性方程组 254

题型三 求解非齐次线性方程组 257

题型四 两方程组的公共解与同解问题 266

习题精选与预测 270

第五章 矩阵的特征值和特征向量 274

大纲解读 274

考试内容 274

考试要求 274

大纲知识点精解 274

1 特征值与特征向量 274

考点梳理 274

一、基本概念 274

二、重要性质、公式与结论 275

例题解析 276

题型一 求数字型矩阵的特征值与特征向量 276

题型二 求抽象矩阵的特征值与特征向量 279

题型三 特征值与特征向量的逆问题 281

题型四 有关特征值与特征向量的证明题 283

2 相似矩阵及矩阵的相似对角化 285

考点梳理 285

一、基本概念 285

二、重要性质、公式与结论 285

例题解析 286

题型一 相似矩阵的性质及其判定 286

题型二 方阵的对角化问题 289

3 实对称矩阵及其相似对角化 293

考点梳理 293

一、基本概念 293

二、重要性质、公式与结论 293

例题解析 294

题型一 实对称矩阵的性质 294

题型二 实对称矩阵的对角化 299

习题精选与预测 302

第六章 二次型 306

大纲解读 306

考试内容 306

考试要求 306

大纲知识点精解 306

1 二次型的定义、矩阵表示 306

考点梳理 306

基本概念 306

2 化二次型为标准形和规范形 307

考点梳理 307

一、基本概念 307

二、重要性质、公式与结论 308

3 合同矩阵 309

考点梳理 309

一、基本概念 309

二、重要性质、公式与结论 309

4 正定二次型与正定矩阵 309

考点梳理 309

一、基本概念 309

二、重要性质、公式与结论 309

例题解析 310

题型一 二次型的基本概念 310

题型二 线性变换 312

题型三 化二次型为标准形和规范形 313

题型四 矩阵的合同 318

题型五 正定二次型与正定矩阵的判定与证明 320

习题精选与预测 324

附录 327

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题 327

2016年全国硕士研究生入学统一考试数学二真题解析 330

后记 345